单级倒立摆从建模到仿真

首先建立单摆的动力学模型，使用simulink搭建控制框图。然后将极点配置状态反馈和串级PD反馈应用于系统的摆杆竖直倒立稳定和平移支座位移稳定进行控制并对比了两种方法的优劣。

Quark Star

9029人浏览 · 2021-08-22 12:44:27

Quark Star · 2021-08-22 12:44:27 发布

把很久以前的草稿整理一下搬到博客上

1.动力学模型

如图1所示，单级倒立摆系统由水平导轨，平移支座和摆杆构成。平移支座与摆杆无阻尼铰接（摆杆可自由摆动）。平移支座可以在导轨上受控平移，摆杆的质量是 $m$ ，质心到铰链轴心的距离是 $l$ ，过质心的 $z$ 轴方向的转动惯量是 $I_z$

根据拉格朗日力学对系统进行动力学建模。首先，根据系统的自由度确定描述系统运动的广义坐标。系统的自由度是2。因此，广义坐标可以取平移支座的水平位移 $x_c$ 和摆杆的摆角θ。系统拉格朗日方程（以下 $x_c$ 不再带角标）为

$\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\! \! \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right )-\frac{\partial L}{\partial x}=F_x \\ \\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\! \! \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right )-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0 \end{matrix}\right.$ (1)

其中 $L=T-V$ ，是拉格朗日函数。 $F_x$ 是平移支座的驱动力。

动能：

$T=\frac{1}{2}m\overrightarrow{\! v}\! \! \cdot\! \overrightarrow{\! v}+\frac{1}{2}I_z\dot{\theta}^2$ (2)

$\overrightarrow{\! v}=\begin{bmatrix} \dot{x}\! -\! l\dot{\theta} \sin\theta\\ l\dot{\theta} \cos\theta \end{bmatrix}$ (3)

重力势能：

$V=mg\sin\theta$ (4)

这里研究位移控制，即输入量是位移 $x$ ，而不是驱动力矩 $F_x$ 。因此，只对方程组(1)中的第二个展开。得到动力学方程

$\left ( ml^2+I_z \right )\ddot{\theta}+mgl\cos\theta=ml\ddot{x}\sin\theta$ (5)

动力学模型（被控系统）Simulink框图见图2，初始摆角是 $5\pi/12$ 。控制系统框图如图3所示，支座的初始位移是0.1m 。

2.状态反馈控制器设计

2.1 摆杆倒立控制

倒立摆控制的首要任务是摆杆的稳定倒立。方程(5)是个非线性微分方程，为了能用线性系统理论对它进行分析，需要先进行线性化。从方程(5)的形式可以看出，使用反馈线性化方法比较合适。令

$\ddot{x}=\frac{u}{\sin\theta}+g\cot\theta$ (6)

于是得到线性的动力学方程

$\left ( ml^2+I_z \right )\ddot{\theta}=mlu$ (7)

摆杆的相对竖直位置的偏差 $e_\theta\! =\! \pi/2\! -\! \theta$ , 于是有状态方程

$\begin{bmatrix} \dot{e_\theta}\\ \ddot{e_\theta} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_\theta\\ \dot{e_\theta} \end{bmatrix}-\frac{ml}{ml^2+I_z}\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}u$ (8)

引入状态反馈

$u=k_1e_\theta+k_2\dot{e_\theta}$ (9)

得到

$\begin{bmatrix} \dot{e_\theta}\\ \ddot{e_\theta} \end{bmatrix} =\frac{ml}{ml^2+I_z}\begin{bmatrix} 0 & \frac{ml^2+I_z}{ml}\\ -k_1 & -k_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_\theta\\ \dot{e_\theta} \end{bmatrix}$ (10)

当方程(10)中 $k_1$ 和 $k_2$ 都大于零时状态向量 $\begin{bmatrix} e_\theta &\! \! \! \dot{e_\theta} \end{bmatrix}^T$ 即可收敛，例如k1=2，k2=3，（k3、k4暂时赋值0）仿真结果见图4。

2.2 支撑点位置控制

从图4可见，当摆杆倒立稳定后，平移支座的水平位移一直在以恒定速率朝一个方向变化。这显然没有达到控制要求。因此，在系统的状态变量中再添加上平移支座的位移和速率。将摆杆角度偏差 $e_\theta\! =\! \pi/2\! -\! \theta$ 代入方程(5)，再在 $e_\theta\! =\! 0$ 处线性化

$\ddot{e}_\theta\approx \frac{mlg}{ml^2+I_z}e_\theta-\frac{ml}{ml^2+I_z}\ddot{x}$ (11)

于是有状态方程

$\begin{bmatrix} \dot{e}_\theta\\ \ddot{e}_\theta\\\dot{x}\\ \ddot{x} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 &1 &0 &0 \\ \frac{mlg}{ml^2+I_z}& 0& 0& 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_\theta\\ \dot{e}_\theta\\x\\ \dot{x} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0\\ -\frac{ml}{ml^2+I_z}\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \ddot{x}$ (12)

系统完全可控，可以任意配置极点，取状态反馈

$\ddot{x}=K\begin{bmatrix} e_\theta & \dot{e_\theta} &x & \dot{x} \end{bmatrix}^T$ (13)

将极点配置在[-3 -2 -9 -6]处，解得K=[178 57 33 37 ]。MATLAB求解代码见附录，输出结果见图5。

3.串级PD控制

PD参数整定的基本思路是先确定控制的首要任务，优先确定与之相关的参数。在这里首要任务是摆杆的稳定倒立，因此先对摆杆角度偏差的PD响应参数Kp和Kd进行整定。在整定这两个参数时，在摆杆稳定的前提下，应尽可能取较大的Kp和Kd。摆杆倒立的PD参数整定好后，再进行平移支座的位移稳定PD参数整定。在这里根据控制任务的重要性，摆杆倒立稳定控制优先于平移支座的位移稳定控制。虽然支座位移是控制输入，但是根据任务优先顺序，支座平移稳定只属于间接的控制任务。由于支座位移稳定属于间接任务，于是在位移控制中：欲使支座往右移，得先使摆杆向右倾，支座就得先向左加速。这就是位移控制的参数正负号的确定思路。由于在摆杆角度偏差较大时，角度偏差PD反馈主导控制器输出；角度偏差较小时，支座水平位移PD反馈起才起作用。因此其增益参数Kp和Kd的值应比角度偏差反馈的PD参数小得多。位移PD反馈的增益参数整定顺序是先Kd后Kp，且Kd要大于Kp。这与偏角反馈的正好相反，例如[120 70 30 40]，输出结果见图6。

4.总结

在以上的分析中，状态反馈的和串级PD控制的本质是等效的，都是根据四个被测变量做反馈控制。状态反馈的极点配置需要提前知道动力学模型的参数，而串级PD反馈是通过实验来整定增益参数的。根据图5和图6的曲线来看，使用极点配置状态反馈的曲线比串级PD控制的更加光滑。这有利于防止电机损坏，所以在实践中可以将两种方法结合起来使用，各取所长。

附录：

syms theta a g
a=1;g=9.8;    %a=(ml^2+Iz)/ml
A=[0 1 0 0;g/a 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0 0];  %状态矩阵
b=[0;-1/a;0;1];       %输出矩阵
Q=[b A*b A*A*b A*A*A*b];     %能控性判别矩阵
s=[-3-0i -2+0i -9-0i -6+0i]; %期望极点
S=diag(s);                  
Ke=poly(S);                  %期望特征多项式
Ka=poly(double(subs(A)));    %被控对象特征多项式
K_=[Ka(5)-Ke(5) Ka(4)-Ke(4) Ka(3)-Ke(3) Ka(2)-Ke(2)];
Tc=[A*A*A*b A*A*b A*b b]*[Ka(1) 0 0 0;Ka(2) Ka(1) 0 0;Ka(3) Ka(2) Ka(1) 0;Ka(4) Ka(3) Ka(2) Ka(1)];
K=double(subs(K_/Tc))