1.什么是Cramer`s Rule

下面引用百度百科和维基百科的介绍

百度百科：
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer’s Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的

维基百科：
克莱姆法则（英语：Cramer’s rule），又称为克莱姆公式，是一个线性代数中的定理，用行列式来计算出线性等式组中的所有解。这个定理因加百列·克莱姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在计算上，并非最有效率之法，因而在很多条等式的情况中没有广泛应用。不过，这一定理在理论性方面十分有效

上面的介绍，说了几个重点：

1. 是线性代数中的一个定理，关于求解线性方程组的，用行列式来计算出线性等式组中的所有解，适用于变量和方程数目相等的线性方程组。
2. 在计算上，并非最有效率之法；相较于消除法（高斯消元法），具有更高的复杂度。
3. 但是这一定理在理论性方面十分有效 。

这是对克莱姆法则的总体评价。

2.Cramer`s Rule的具体内容

n元非齐次线性方程组中：
$$\{\begin{array}{ccccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1& & & & \\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2& & & & \\ ⋮\cdots ⋮\cdots ⋮\cdots ⋮\cdots ⋮& & & & \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n& & & & \end{array}$$
系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即
$$D=\left|\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}\\ a_{21}{a}_{22}\cdots a_{2n}\\ ⋮⋮\ddots ⋮\\ a_{n1}{a}_{n2}\cdots a_{nn}\end{array}\right|$$
若线性方程组的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组有唯一解，其解为
$$x_j=\frac{D_j}{D}(j=1,2,\cdots ,n)$$
其中$Dj$是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。如：
$$D_1=\left|\begin{array}{c}{b}_1{a}_{12}\cdots a_{1n}\\ b_2{a}_{22}\cdots a_{2n}\\ ⋮⋮\ddots ⋮\\ b_n{a}_{n2}\cdots a_{nn}\end{array}\right|,D_2=\left|\begin{array}{c}{a}_{11}{b}_1\cdots a_{1n}\\ a_{21}{b}_2\cdots a_{2n}\\ ⋮⋮\ddots ⋮\\ a_{n1}{b}_n\cdots a_{nn}\end{array}\right|,\cdots$$

以上就是克莱姆法则的内容，使用时有如下前提：

1. n元非齐次线性方程组
   • n元：未知数x的个数为n， 方程的个数为n
   • 非齐次： $b_1,b_2,\cdots ,b_n$不全为0
   • 线性：x的最高次幂为1，即多元一次
2. 系数行列式$D\ne 0$,保证方程解的唯一性

方程的个数和未知数个数不相等的话，系数无法构成行列式$D$

方程组的等式右边的b值全部为0，则行列式$D_i(i=1,2,...,n)$都为0

$D=0$，则$x_j=\frac{D_j}{D}$没有意义

可见，克莱姆法则在使用上有很多的限制。

3.Cramer`s Rule的计算效率

n元非齐次方程组，需要计算的行列式有：

• 系数行列式$D$
• 行列式$D_i(i=1,2,...,n)$

即n+1个行列式，其渐近的复杂度为O（n·n！）

相较于高斯消元法，克莱姆法则是低效的，实际应用不广泛。

4.由伴随矩阵引出Cramer`s Rule

n元线性方程组可以表示为：
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$$
$\mathbf{A}$为方程组的系数矩阵，$\mathbf{b}$为向量$(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^T$，若$D\ne 0$，则$\mathbf{A}$可逆，由矩阵性质可得，
$${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}\Rightarrow \mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}$$

则接下来的关键，就是要求出${\mathbf{A}}^{-1}$，有两种方法：

1. 初等变换法

2. 伴随矩阵法

初等变换法，借助消除法(高斯消元法)，简单高效

伴随矩阵法，计算起来比较复杂，但是可以借此引出克莱姆法则。

设$\mathbf{A}$为n阶矩阵，$|\mathbf{A}|$为矩阵A的行列式，${\mathbf{A}}^{\ast }$为矩阵的伴随矩阵
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}\\ a_{21}{a}_{22}\cdots a_{2n}\\ ⋮⋮\ddots ⋮\\ a_{n1}{a}_{n2}\cdots a_{nn}\end{array}\right],|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\cdots a_{1n}\\ a_{21}{a}_{22}\cdots a_{2n}\\ ⋮⋮\ddots ⋮\\ a_{n1}{a}_{n2}\cdots a_{nn}\end{array}\right|$$
$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left|\begin{array}{c}{\mathbf{A}}_{11}{\mathbf{A}}_{21}\cdots {\mathbf{A}}_{n1}\\ {\mathbf{A}}_{12}{\mathbf{A}}_{22}\cdots {\mathbf{A}}_{n2}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {\mathbf{A}}_{1n}{\mathbf{A}}_{2n}\cdots {\mathbf{A}}_{nn}\end{array}\right|$$
其中${\mathbf{A}}_{ij}(i,j\in 1,2,...,n)$为$|\mathbf{A}|$的代数余子式。

由行列式的拉普拉斯展开，可得
$$|\mathbf{A}|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}$$

或

$$|\mathbf{A}|=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}$$
$i,j\in (1,2,\cdots ,n)$.

代数余子式在这里有一个特点，一行（或列）的子式与另一行（或列）的代数余子式的乘积之和为零。即：

$$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=0，（i\ne j）$$
$$a_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+\cdots +a_{ni}{A}_{nj}=0，（i\ne j）$$

故而，可推出：
$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=\left|\begin{array}{c}|\mathbf{A}|0\cdots 0\\ 0|\mathbf{A}|\cdots 0\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ 00\cdots |\mathbf{A}|\end{array}\right|=|\mathbf{A}|\mathbf{I}$$
${\mathbf{A}}^{\ast }$巧妙的地方就在这，被构造出来的按照特定的顺序排列的代数余子式矩阵，跟矩阵$\mathbf{A}$相乘之后，居然能够得到一个标量乘以单位矩阵$\mathbf{I}$，等式两边除以标量$|\mathbf{A}|$，得，
$$\mathbf{A}\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}\mathbf{A}=\mathbf{I}\Rightarrow {\mathbf{A}}^{-1}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}$$

从而，
$$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}\mathbf{b}$$

到了这一步，克莱姆法则的推导就要呼之欲出了
对于方程组来说，系数矩阵的行列式$|\mathbf{A}|=D$，那${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{b}$跟$D_1,D_2，\cdots ,D_n$又有什么关系呢？
如下：

$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left|\begin{array}{c}{\mathbf{A}}_{11}{\mathbf{A}}_{21}\cdots {\mathbf{A}}_{n1}\\ {\mathbf{A}}_{12}{\mathbf{A}}_{22}\cdots {\mathbf{A}}_{n2}\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {\mathbf{A}}_{1n}{\mathbf{A}}_{2n}\cdots {\mathbf{A}}_{nn}\end{array}\right|,\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]\Rightarrow {\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1{\mathbf{A}}_{11}+b_2{\mathbf{A}}_{21}+\cdots +b_n{\mathbf{A}}_{\mathbf{n}1}\\ b_1{\mathbf{A}}_{12}+b_2{\mathbf{A}}_{22}+\cdots +b_n{\mathbf{A}}_{\mathbf{n}2}\\ \cdots \\ b_1{\mathbf{A}}_{1\mathbf{n}}+b_2{\mathbf{A}}_{2\mathbf{n}}+\cdots +b_n{\mathbf{A}}_{\mathbf{n}\mathbf{n}}\end{array}\right]$$
而，
$$b_1{\mathbf{A}}_{11}+b_2{\mathbf{A}}_{21}+\cdots +b_n{\mathbf{A}}_{\mathbf{n}1}=\left|\begin{array}{c}{b}_1{a}_{12}\cdots a_{1n}\\ b_2{a}_{22}\cdots a_{2n}\\ ⋮⋮\ddots ⋮\\ b_n{a}_{n2}\cdots a_{nn}\end{array}\right|=D_1$$
故，
$${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{D}_1\\ D_2\\ ⋮\\ D_n\end{array}\right]$$
代入$\mathbf{x}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}\mathbf{b}$中，得，

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\frac{1}{D}\left[\begin{array}{c}{D}_1\\ D_2\\ ⋮\\ D_n\end{array}\right]=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}\mathbf{b}$$

最后可得：
$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots ,x_n=\frac{D_n}{D}$$
由此，可得到克莱姆法则的表达式

由伴随矩阵得到了逆矩阵，也由伴随矩阵推导出了克莱姆法则

5.Cramer`s Rule的价值

• 研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系。
• 与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。
• 克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

克莱姆法则在解决微分几何的问题时十分有用。

先考虑两条等式$F(x,y,u,v)=0$和$G(x,y,u,v)=0$。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我们可定义$x=X(u,v)$和$y=Y(u,v)$。

找出一条等式适合$\partial x/\partial u$是克莱姆法则的简单应用。

首先，我们要计算$F$、$G$、$x$和$y$的导数：

$$dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial u}du+\frac{\partial F}{\partial v}dv=0$$
$$dG=\frac{\partial G}{\partial x}dx+\frac{\partial G}{\partial y}dy+\frac{\partial G}{\partial u}du+\frac{\partial G}{\partial v}dv=0$$
$$dx=\frac{\partial X}{\partial u}du+\frac{\partial X}{\partial v}dv$$
$$dy=\frac{\partial Y}{\partial u}du+\frac{\partial Y}{\partial v}dv$$

将$dx$和$dy$代入$dF$和$dG$，可得出：

$$dF=\left(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial u}\right)du+\left(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial v}\right)dv=0$$

$$dG=\left(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial u}\right)du+\left(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial v}\right)dv=0$$
因为$u$和$v$互不相关，所以$du$和$dv$的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：

$$\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{\partial F}{\partial u}$$

$$\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{\partial G}{\partial u}$$

$$\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{\partial F}{\partial v}$$

$$\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac{\partial G}{\partial v}$$

现在用克莱姆法则就可得到：

$$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\left|\begin{array}{cc}-\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial y}\\ -\frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial y}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial x}& \frac{\partial F}{\partial y}\\ \frac{\partial G}{\partial x}& \frac{\partial G}{\partial y}\end{array}\right|}$$
用两个雅可比矩阵来表示的方程：

$$\frac{\partial x}{\partial u}=-\frac{\left(\frac{\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}\right)}{\left(\frac{\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}\right)}$$
用类似的方法就可以找到$\frac{\partial x}{\partial v}$、$\frac{\partial y}{\partial u}$以及$\frac{\partial y}{\partial v}$。

引用：

1.百度百科: 克莱姆法则.
2.维基百科: 克莱姆法则.