代数系统基础

代数系统由集合和定义在集合上的若干运算组成。
特点：封闭，运算结果唯一（判断一个系统是否为代数系统——主要判断是否封闭）

运算表

当集合A和B有限时，一个A*A到B的代数运算，可以借用一个表，称为运算表（乘法表）来说明，如表

代数系统(Nk,＋k)和(Nk, ×k)，Nk={0, 1,…, k-1}，小于k的正整数, ＋k表示模k加法，k表示模k乘，＋k与k与定义为：

基本性质

判断一个代数系统是否具有某些算律，求代数系统的特殊元素

算律

结合律、交换律、分配律、吸收律和消去律

结合律

交换律

幂等律

分配律

吸收律

特殊元素

等幂元、幺元、零元和逆元

等幂元

幺元

有幺元运算表则不可能有两行元素完全相同，不可能有两列元素完全相同，即运算表中任两列或任两行均不相同。

零元

逆元

同态与同构

定义

定理

特殊的代数系统

半群

满足可结合性的代数系统。
证明一个系统是否是半群，首先证明其是代数系统，即其满足封闭，然后证明其满足可结合。

定理

独异点

满足可结合性且有幺元的代数系统，含幺元的半群。
证明一个系统是否是独异点，首先证明其是代数系统，即其满足封闭，然后证明其满足可结合，再证明其含有幺元。

子半群，子独异点

半群同态，独异点同态

群★重点

满足可结合性且有幺元，且每个元素都有逆元的代数系统。每个元素都有逆元的独异点。
证明一个系统是否是群，首先证明其是代数系统，即其满足封闭，然后证明其满足可结合，再证明其含有幺元，最后证明每个元素都有逆元。

($N_k$-{0},${\oplus }_7$}是群当且仅当k为素数
定义：在群(G，#）中，如果G为有限集，G中的元素个数称为群（G，#）的阶数。当G为无限集时，称（G,#）为无限群，无穷群。

性质

1.群中的等幂元唯一——幺元
2.群中不存在零元
因为零元不存在逆元
3.群的运算满足消去律：a#b=a#c则b=c
4.$(a^{-1}{)}^n=(a^n{)}^{-1}$
5.有限群的运算表中，每一行的元素都不相同且每一列的元素都不相同
6.2,阶群，3阶群，5阶群，7阶群只有一种（同构的算一种）；4阶群，6阶群有两种
偶数阶群一定至少存在一个非幺元元素的逆为本身。
7.（G，#）为群，则它的同态映射也是群
G的同态映射也可结合，存在幺元且幺元即为G幺元的映射，逆元都存在，且为G中逆元的映射。满足群的定义要求。
8.

子群

设<A,#>为群，B是A的非空子集, 如果<B,#>是群，则称<B,#>是<A,*>的子群。
考察一个群是否为子群，除运算的可结合性是“可继承外”，其他三条：封闭，幺元存在，逆元存在还需验证。
当群为有限集的时候，可利用下面的定理简单验证：
定理：设（G,#）为群，A是G的有限子集，如果运算#对A是封闭的，则（A，#）是群（G,#)的子群。
当利用该定理求有限子群还是麻烦，为此引入群中元素的阶数的概念。

群中元素的阶数

定义：设（G,#)为群，a是G中的元素，若存在正整数k，使得$a^k=e$，则称a为有限阶元素，满足该等式的最小正整数k称为元素a的阶，若不存在这样的k则称a为无限阶元素。
定理：设（G,#)为群，a是G中的元素且其阶数为k，则k≤|G|
利用群中元素的阶数来构造子群
定理：（G,#)为群，a是G中的元素，且a的阶数为k，令A={$a,a^2,..,a^k$}，则（A，#）为（G,#)的k阶子群。

这样利用群中元素的阶数构造子群的步骤为：①求出群中元素的阶数（逆元的阶数相同） ②利用定理，一个k阶元素得到群的一个k阶子群（可能有的子群一样）