公式：
$$e^{i\pi }+1=0$$

这个方程真的很奇妙，因为它集合了：

• $e$ （欧拉数）
• $i$ （单位 虚数)
• $\pi$ （大名鼎鼎的 pi，一个在很多不同领域都出现的数）
• 0 和 1（也是不凡的数！）

欧拉公式

这方程其实源自欧拉公式：

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

以 $x=\pi$，我们得到：

$$\begin{array}{rl}& e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \\ & e^{i\pi }=-1+i\times 0（因为\cos \pi =-1和\sin \pi =0）\\ & e^{i\pi }=-1\\ & e^{i\pi }+1=0\end{array}$$

故此，$e^{i\pi }+1=0$ 只不过是更有用的欧拉公式的一个特例。

我们可以把任何点（例如 $3+4i$）变成 $r{e}^{ix}$ 的格式（只需找到 $x$ 的值和圆形的半径，$r$）

例子：$3+4i$

把这复数转换为 $r{e}^{ix}$ 的格式，我们要转换笛卡尔坐标为极坐标：

$r=\sqrt{(3^2+4^2)}=\sqrt{(9+16)}=\sqrt{25}=5$
$x=\arctan (4/3)=0.927（保留三位小数）$

所以 $3+4i$ 也可以是 $5e^{0.927i}$。

未完待续…

From: 欧拉复数公式

泰勒级数展开

泰勒级数展开	总和符号记法
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$	$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$	$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$$
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$	$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}$$
$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots for\Vert x\Vert <1$$	$$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$$

近似值

你可以用泰勒级数的头几项来估计函数的近似值。

这里是越来越准确的 cos(x) 近似值。红线是 cos(x)，蓝线是近似值（自己画图来看看）：

From: 泰勒级数展开

欧拉公式，复数域的成人礼

但向量没有乘法（点积、叉积和实数乘法不一样），这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展，所以要尽量兼容实数，必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。

可能你还会问，直接替换 $x$ 为 $i\theta$ ，合理吗：

这里是理解欧拉公式的 关键 ，我们要意识到一点，欧拉公式是一种人为的选择，完全可以不这么去定义 $e^{i\theta }$ 。但是，做了别的选择，会面临一个问题：会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾？

打个比方吧，在实数中“除以0 ”是不合理的，假如你想让它变得合理，那么分分钟会导出矛盾：

欧拉公式并不会引发冲突，并且随着学习的深入，你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择，这里就不赘述了。

总结

有了欧拉公式后，任何复数都可以表示为：

$$z=a+bi=r{e}^{i\theta }$$

其中： $r=|z|,\theta =arg(z)$

个人觉得 $a+bi$ 只是复数的初始形态，而 $r{e}^{i\theta }$ 才是复数的完成形态，因为它更具有启发性。

比如计算乘法时：

$$z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1},z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$$

那么有：

$$z_1\times z_2=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

$$z_1÷z_2=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$$

几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算：

$$a^i=e^{i\ln a}$$

$$\ln \underset{单位圆上幅角为\frac{\pi }{2}的点}{\underbrace{i}}=\ln \left(e^{i\frac{\pi }{2}}\right)=i\frac{\pi }{2}$$

到此为止，基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数，也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。

欧拉公式中，如果取 $\theta =\pi$ ，就得到了欧拉恒等式：

$$e^{i\pi }+1=0$$

这个公式也被誉为了上帝公式，包含了数学中最基本的 $e、\pi 、i、1、0$ ，仿佛一句诗，道尽了数学的美好。

From: 欧拉公式，复数域的成人礼