编译原理LL(1)文法的判断（first集、follow集和select集）

1、问

• 如何通过给定的文法，判断该文法是否是LL(1)文法？

2、答

• 求出该文法的first集、follow集和select集，通过select集之间的关系进行判断

3、集合

3.1 first集

1. B->abS first(B)={a}
2. B->AS

• 若A（A可0步或多步得出A->ε）,first(B)={first(A)-{ε}}∪first(S)
• 若A（A不可0步或多步得出A->ε）,first(B)=first(A)
• 若A满足，S也满足，即A和S均可0步或多步得出->ε，则first(B)={first(A)-{ε}}∪{first(S)-{ε}}∪{ε}

3. 反复使用上述2步，直到每个符号的first集不再增大为止

同理由一个符号的first集可得出符号串的first集

3.2 follow集合

1. 对起始符，follow集加入{#}
2. 对A->aBbc,follow(B)={b}
3. 对A->aBD,
   若D(D不可0步或多步得出D->ε) ,follow(B)=first(D)
   若D(D可0步或多步得出D->ε) ,follow(B)=follow(A)
4. 反复使用上述步骤，直到每个符号的follow集不再增大为止

3.3 select集合

select集是对每个产生式进行处理

1. select(S->ab)=first(a)
2. select(S->AB)
   若AB均可 0步或多步得出->ε，则select(S->AB)={first(AB)-{ε}}∪follow(S)
   反之，select(S->AB)=first(AB)
3. 采用上述步骤，直到获得所有产生式的select集

3.4 LL(1)文法判断

由上步的select集，然后对相同的左部进行交集判断，若所有的交集均为空，则表示该文法是LL(1)文法
若有一类非终结符不满足条件，则都不可称之为LL(1)文法

4、例

文法G[S]:
S→AaS|BbS|d
A→a
B→ε|e

1. first集：
   first(S)=first(AaS)∪first(BbS)∪{d}
   =first(A)∪{first(B)-{ε})∪first(b)∪{d}
   ={a,e,b,d}
   first(A)={a}
   first(B)={e,ε}
   first(AaS)=first(A)={a}
   first(BbS)={first(B)-{ε}}∪first(b)={e,b}
   first(d)=first(d)={d}
   first(a)=first(a)={a}
   first(ε)=first(ε)={ε}
   first(e)=first(e)={e}
2. follow集：
   follow(S)=follow(S)∪follow(S)∪{#}={#}
   follow(A)=first(a)={a}
   follow(B)=first(b)={b}
3. select集：
   select(S->AaS)=first(A)={a}
   select(S->BbS)={first(B)-{ε}}∪first(b)={e,b}
   select(S->d)=first(d)={d}
   select(A->a)=first(a)={a}
   select(B->ε)=first(ε)={ε}
   select(B->e)=first(e)={e}
4. 判断
   select(S->AaS)∩select(S->BbS)∩select(S->d)=Ø
   select(B->ε)∩select(B->e)=Ø
   因此称之为LL(1)文法

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