“莫尔”一词源于法文“Moire”，其原本的含义是“波动”或者“起波纹的”。早在古代时期，人们便偶然发现，当把两块薄的丝绸织物相互叠加放置时，能够看到一种呈现不规则形态的花纹。此后，人们就把由两种条纹相互叠加而产生的图形命名为莫尔条纹。

在1874年的时候，英国著名的物理学家瑞利率先将莫尔条纹当作一种计量测试的手段，由此开创了莫尔测试技术这一崭新的领域。

从广义的范畴来讲，莫尔测试技术理应涵盖所有把莫尔图案作为计量测试手段的各类方法。不过，按照习惯上的说法，它通常是特指利用计量光栅元件来产生莫尔条纹的那一类计量测试方法，也就是我们常说的光栅莫尔条纹法。

时至今日，莫尔条纹已经在科学研究以及工程技术等诸多领域得到了极为广泛的应用。作为一种精密的计量手段，莫尔条纹可应用于测角、测长、测振等不同的专业领域当中。并且，随着光电子技术不断向前发展，莫尔条纹在自动跟踪、轨迹控制、变形测试以及三维物体表面轮廓测试等方面，同样有着十分广泛的应用。

迄今为止，针对莫尔条纹的形成原理，已经发展出了多种理论，大致可归纳为以下三种：

• 其一，基于遮光原理来阐释。该理论主张莫尔条纹的产生，是源于一块光栅的不透光线纹对另一块光栅透光缝隙产生的遮挡作用。所以，能够依据光栅副叠合线纹的交点轨迹，去呈现亮条纹的亮度分布情况。
• 其二，基于衍射干涉原理来解释。按照这一理论，由条纹所构建形成的全新亮度分布，可以通过衍射波之间相互干涉所产生的结果来加以描述。
• 其三，基于傅里叶变换原理来解释。依据傅里叶变换原理，能够把光栅副透射光场分解成为具有不同空间频率的离散分量，而莫尔条纹恰恰是由那些低于光栅频率的空间频率项所构成的。

通常而言，第三种理论属于一种更为广义的解释方式。当光栅条纹相对稀疏的时候，运用遮光原理来解释会比较合适，借助几何法以及序数方程法对莫尔条纹的形成展开分析，其过程相对直观，也更容易让人理解；而倘若光栅条纹较为密集，那么采用衍射干涉原理来进行解释，则显得更为贴切恰当。

1. 遮光原理

粗光栅莫尔条纹的形成可用几何光学中的遮光原理进行解释。

两块光栅结构重合在一起，其交点的轨迹就是莫尔条纹。这个光栅结构可以是实际光栅，也可以是光栅的像。由于两块光栅的栅距相等（或近似相等），并且线纹宽度等于线纹间距，线纹间又有微小的夹角，那么两块光栅的线纹必然在空间相交。透过光线的区域形成亮带，不透光的区域形成暗带，其余区域介于亮带与暗带之间，这样就构成了清晰的莫尔条纹图像。

用遮光原理求解莫尔条纹宽度和方向位置时，最常用的方法是几何法和序数方程法。几何法直观、简便只适用于局部；序数方程法适用于全场，可导出莫尔条纹方程。

（1）几何法

图1为一对光栅以交角θ相叠合所产生的莫尔条纹的几何关系。

如图2所示，两个光栅（光栅副）的4根栅线组成一个平行四边形ABCD，其长对角线AD的长度为莫尔条纹宽度ω的2倍。对于三角形ABC，其面积S，边长a、b、c以及光栅节距d1、d2，ω与θ之间存在如下关系：

联立以上两式求得

上式就是莫尔条纹宽度（或节距）公式。实际应用中，一般取d1=d2=d，则有

如果两块光栅的夹角很小，则有

若以莫尔条纹对于y轴的夹角φ表示其方位，则根据

得到

当d1=d2=d，则有

从上式可以看出，两块光栅的节距相等时，莫尔条纹垂直于栅线交角θ的角平分线。

（2）序数方程法

如图3所示，取A光栅的0号栅线为坐标y轴，垂直于A光栅的栅线方向为x轴，B光栅的0号栅线与A光栅的0号栅线的交点为坐标原点O，两光栅的栅线交角为θ。

设A光栅的栅线序列为i=0、1、2、……；B光栅的栅线序列为j=0、1、2、……；两光栅的栅线交点可用[i，j]表示，k=j-i，表示莫尔条纹。

设A、B光栅的栅距分别为d1、d2，从图4中可以看出A光栅的栅线方程为

B光栅栅线的斜率为

可以求得B光栅任意栅线j与x轴交点Oj（0，j）的坐标为

由点斜式求出B光栅栅线方程为

联立以上几个公式，可以求出对应于某一k值的莫尔条纹方程为

这是截距不同的平行直线簇的斜率式方程，由此可以推算出相邻直线间的距离，即莫尔条纹的宽度ω及其对y轴的夹角φ。

根据莫尔条纹方程式，可以得到以下结论：

（a）两光栅截距相同，即d1=d2=d，二者重合时栅线夹角θ很小（约10-3量级）时，莫尔条纹方向几乎与栅线方向垂直，形成横向莫尔条纹，如图5所示。

此时有

（b）当两光栅栅线方向相同，即θ=0时，形成纵向莫尔条纹

当d1=d2=d时，莫尔条纹宽度ω趋于无限大，此时，当光栅副相对移动时，光栅的作用犹如闸门，入射光时启时闭，形成光闸莫尔条纹（纵向莫尔条纹），如图6所示。

2. 衍射干涉原理

对于粗光栅莫尔条纹的形成，可用几何光学中的遮光原理进行解释；而对于细光栅副形成的莫尔条纹，由于光在通过光栅透光缝时产生衍射，莫尔条纹的形成不仅是不透光刻线的遮光作用，还涉及各级衍射光束间的干涉现象。在使用沟槽型相位光栅时，它处处透光更不能用遮光原理解释莫尔现象，这时可用衍射干涉原理进行解释。

由物理光学可知，一束单色平面光波入射到一个光栅上时，将产生传播方向不同的各级平面衍射光。而一对光栅的衍射情况要比单块光栅的衍射复杂得多，如图7所示。

光束射向第1块光栅G1时衍射为n级分量，这n级分量射向第2块光栅G2时，被G2再次衍射为m级分量。这样，共产生n×m束衍射分量。若两块光栅完全一样，则衍射分量总数为n2，且沿n个方向传播，即每个方向上包含n个分量波。由光栅副出射的每个衍射分量应由它在两个光栅上的两个衍射级序数表示为（n，m），即G1光栅的级序n标在前，G2光栅的级序m标在后，如（0，-2）表示G1光栅的0级入射到光栅G2时所产生的-2级衍射光束。两个相应级序的代数和（n+m）称为该分量的综合衍射级q，当G1和G2相同时，综合衍射级q相同的所有分量将有相同的传播方向。例如，对于图7所示的（-1，2）、（0，1）、（1，0）、（2，-1)这4束光，其综合衍射级均为q=1，方向相同，经过两个光栅后，综合衍射级相同的光线，其出射方向相同，干涉后形成条纹，即莫尔条纹。

光栅副衍射光有多个方向，每个方向又有多个光束，它们之间将产生复杂的干涉现象合成波的振幅、周期及分布规律将取决于光场中的每一点上各分量波的振幅及相位。由于形成的干涉条纹很复杂，无法形成清晰的莫尔条纹，因此可以在光栅副后面加上透镜，如图8所示，在透镜的焦点处用一个光阑只让一个方向的衍射光通过，滤掉其他方向的光束，以提高莫尔条纹的质量。

同一方向上的光束衍射级次不同，相位和振幅不同，相干的结果仍然很复杂。通常光栅低级次衍射的光能量比高级次的大得多，因此实际应用中常选用综合衍射级q=1的衍射分量工作。至于在q=1组中，两个相干衍射光束的选定则应按照“等效衍射级次最低”的原则确定。所谓等效衍射级次，是指每束光两衍射级次、m的绝对值之和。例如，在q=1组中(0，1)和(1，0)这两束光的能量最大，则q=1组的干涉图样主要由这两个分量相干决定，所形成的光强分布按余弦规律标准化，其条纹方向和宽度与用几何光学原理分析的结果相同这两个分量称为基波，而该组中的其他分量称为谐波，如(-1，2)、(2，-1)衍射分量。考虑同一组中各衍射光束干涉相加的一般情况，莫尔条纹的光强分布不再是简单的余弦函数，通常，在其基本周期的最大值和最小值之间出现次极大值和次极小值，即在主条纹之间出现次条纹、伴线。在许多应用场合，如对莫尔条纹信号做电子细分时要求莫尔条纹光强分布为较严格的正弦或余弦函数，此时应当采取空间滤波或其他措施，以消除或减少莫尔条纹光强变化中的谐波周期变化成分。

3. 傅里叶变换原理

傅里叶变换是一种功能强大的数学工具，它能够实现信号在不同域之间的转换，尤其在处理像时间域或空间域内的信号时极为有用。在空间域的情境下，对于一个给定的信号（例如图像、光场等），傅里叶变换可以将其分解成不同空间频率的正弦和余弦分量的总和，本质上也就是把该信号表示为一系列具有不同空间频率的平面波的叠加。

从数学角度来看，对于一个一维空间域函数f(x)（这里x表示空间坐标），其连续傅里叶变换（FT）的定义式为：

其中，k代表空间频率，F(k)则是f(x)在空间频率域对应的函数，它描述了原空间域信号f(x)中不同空间频率成分的分布情况。而其逆变换（将频率域函数变回空间域）的公式为：

对于离散的情况，例如在数字图像处理中，假设我们有一个离散的空间信号序列 f[n]（n表示离散的样本序号），其离散傅里叶变换（DFT）的计算公式为：

其中，N是离散信号的点数，m对应离散的空间频率序号，相应的逆离散傅里叶变换（IDFT）公式为：

一个光栅作为一种具有周期性结构的光学元件，它由一系列等间距的透明与不透明条纹组成，其具有特定的空间频率f，空间频率的定义通常是每单位长度内条纹的数目（例如，在国际单位制中，单位可以是每米的条纹数，常用单位还有每毫米的条纹数等）。当光通过光栅时，根据惠更斯-菲涅耳原理，由于衍射效应，光会被分解成多个方向的光波，这些光波的空间频率是光栅自身空间频率的整数倍。

莫尔条纹的形成过程：

（a）光栅的光场分解：

假设有两个光栅，分别标记为光栅G1和光栅G2，它们具有空间频率f1和f2。当单色光垂直照射到这两个重叠放置的光栅上时，每个光栅都会依据上述的傅里叶变换原理，将入射光分解成一系列的平面波。

以光栅G1为例，其在空间域产生的光场分布可以用一个周期函数g1(x)来表示（这里x同样为空间坐标方向），按照傅里叶级数展开（因为它是周期函数），其表达式为：

 

其中，A1n是对应于第n次谐波的复振幅系数，反映了该频率成分在光场中的相对强度和相位信息。

同理，光栅G2产生的光场分布g2(x)的傅里叶级数展开式为：

 

（b）傅里叶变换：

根据傅里叶变换原理，我们能够将两个光栅产生的光场分别精确地表示为它们的傅里叶级数形式，如上述所写。当这两个光栅在空间上重叠时，它们各自产生的光场会进行相加，即总的光场分布g(x)为：

 

从频率域角度来看，也就是它们各自对应的傅里叶变换结果在频率域进行叠加。

（c）空间频率的叠加：

重叠区域的光场是两个光栅光场的叠加，这在数学上相当于它们的傅里叶变换的叠加。在傅里叶域中，不同空间频率的波前相互干涉，根据波的叠加原理以及三角函数的运算规则，会产生新的空间频率分量。

例如，两个不同频率的平面波叠加后的光场强度I(x)（这里仅考虑简单的复振幅叠加后取模平方来计算光强）为：

 

可以看到，叠加后除了原有的频率成分，还出现了频率为|k1-k2|的差频成分，这体现了空间频率叠加产生新频率分量的特性。

（d）低频分量的形成：

莫尔条纹主要是由两个光栅频率的差值（f1-f2）产生的空间频率分量所引起的。这个差值通常远小于单个光栅的频率，因此它对应于一个较低的空间频率。

从数学角度进一步分析，在两个光栅光场叠加后的总的光场表达式中，会存在形如ei2π(nf1-mf2)x的项，当n=1，m=1时，就得到了空间频率为f1-f2的成分，而这个成分往往在整个叠加后的频率谱中处于相对低频的位置。

（e）可见条纹：

这些较低的空间频率分量在空间域中形成可见的条纹图案，即莫尔条纹。莫尔条纹的方向和间距与两个光栅的相对角度和频率差有关。

莫尔条纹的间距dm与两个光栅的空间频率差Δf=|f1-f2|之间存在反比关系，其计算公式大致为（在满足一定近似条件下，例如近轴光学情况等）：

 

莫尔条纹的方向则取决于两个光栅条纹方向的相对夹角，若两个光栅条纹方向的夹角为θ，则莫尔条纹方向与光栅条纹方向存在特定的几何对应关系，可通过三角函数以及几何光学的相关原理来进一步确定和分析。