一、方差 (Variance)

1️⃣ 定义

• 描述数据偏离均值的程度

• 总体方差：

  $${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2$$

• 样本方差（无偏估计,$\bar{x}$为样本均值）：

  $$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$

  $$

  $$

2️⃣ Python计算

import numpy as np

data = [2, 4, 6, 8]
var_pop = np.var(data)          # 总体方差 → 5.0
var_sample = np.var(data, ddof=1)  # 样本方差 → 6.666...

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二、标准差 (Standard Deviation)

1️⃣ 定义

• 方差的平方根，保持量纲一致性
  $$\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$$

2️⃣ 应用场景

• Z-score标准化：
  $$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$$
• 正态分布的参数：68-95-99.7法则

3️⃣ Python实现

std_pop = np.std(data)          # 总体标准差 → 2.236...
std_sample = np.std(data, ddof=1)  # 样本标准差 → 2.581...

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三、协方差 (Covariance)

1️⃣ 定义

• 衡量两个变量的总体误差：
  $$\text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$

2️⃣ 性质

• 正值 → 变量同向变化
• 负值 → 变量反向变化
• 绝对值越大 → 线性相关性越强

3️⃣ Python计算

x = [1, 2, 3]
y = [4, 5, 6]
cov_matrix = np.cov(x, y)  # 协方差矩阵
print(cov_matrix[0,1])     # 协方差值 → 1.0

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四、正态分布 (Normal Distribution)

1️⃣ 概率密度函数

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

2️⃣ 参数意义

• $\mu$：均值（分布中心位置）
• $\sigma$：标准差（分布宽度）

3️⃣ 重要特性

• 对称性：均值=中位数=众数
• 3σ原则：
  • 68%数据在$\mu \pm \sigma$
  • 95%数据在$\mu \pm 2\sigma$
  • 99.7%数据在$\mu \pm 3\sigma$

4️⃣ Python可视化

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

x = np.linspace(-3, 3, 100)
plt.plot(x, norm.pdf(x, 0, 1))  # 标准正态分布
plt.fill_between(x, norm.pdf(x,0,1), where=(x>1)&(x<2), alpha=0.5)
plt.show()

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五、关键概念对比

概念	描述对象	计算公式	应用场景
方差	单个变量	$\frac{1}{n}\sum (x_i-\mu {)}^2$	数据离散程度评估
标准差	单个变量	$\sqrt{\text{方差}}$	数据标准化、异常检测
协方差	两个变量	$\frac{1}{n}\sum (x_i-{\mu }_x)(y_i-{\mu }_y)$	PCA、特征选择
相关系数	两个变量	$\frac{\text{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$	量化线性相关性强度

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六、工业级应用案例

1️⃣ 异常检测 (3σ原则)

def detect_outliers(data):
    mu = np.mean(data)
    sigma = np.std(data)
    return [x for x in data if abs(x - mu) > 3*sigma]

2️⃣ 数据标准化 (Z-score)

def z_score_normalize(data):
    return (data - np.mean(data)) / np.std(data)

3️⃣ 特征选择 (协方差矩阵)

import pandas as pd

df = pd.DataFrame({'X': x, 'Y': y})
cov_matrix = df.cov()  # 计算特征间协方差

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七、常见误区解析

1. 方差 vs 标准差

   • 误区：认为标准差一定比方差小
   • 事实：当数据值 <1 时标准差可能更小

2. 协方差 vs 相关系数

   • 协方差受量纲影响，相关系数范围[-1,1]

3. 正态分布检验

   • 使用Q-Q图或统计检验（如K-S检验）

   from scipy.stats import probplot
   probplot(data, plot=plt)
   plt.show()