样条曲线的边界条件有以下几种：
1.切矢条件
$${\dot{\mathbf{p}}}_0=\frac{|\Delta {\mathbf{p}}_0|}{{\Delta }_0},{\dot{\mathbf{p}}}_n=\frac{|\Delta {\mathbf{p}}_{n-1}|}{{\Delta }_{n-1}}$$

2.自由端点条件
$$\{\begin{array}{rl}& 2{\dot{\mathbf{p}}}_0+{\dot{\mathbf{p}}}_1=3\frac{\Delta {\mathbf{p}}_0}{{\Delta }_0}\\ & 2{\dot{\mathbf{p}}}_{n-1}+{\dot{\mathbf{p}}}_n=3\frac{\Delta {\mathbf{p}}_{n-1}}{{\Delta }_{n-1}}\end{array}$$
这一条件相当于力学上的简支梁，即端点处不受力矩作用。

3.虚节点条件
假设在首节点$u_0$外侧再加一个虚节点$u_{-1}=\frac{u_0-{\lambda }_0{u}_1}{1-{\lambda }_0},(0<{\lambda }_0<1)$。并假设样条曲线在虚节点处的二阶导矢为零向量：
$$\{\begin{array}{rl}& {\dot{\mathbf{p}}}_0+\frac{1+2{\lambda }_0}{2+{\lambda }_0}{\dot{\mathbf{p}}}_1=\frac{3(1+{\lambda }_0)}{2+{\lambda }_0}\frac{\Delta {\mathbf{p}}_0}{{\Delta }_0}\\ & \frac{1+2{\lambda }_n}{2+{\lambda }_n}{\dot{\mathbf{p}}}_{n-1}+{\dot{\mathbf{p}}}_n=\frac{3(1+{\lambda }_n)}{2+{\lambda }_n}\frac{\Delta {\mathbf{p}}_{n-1}}{{\Delta }_{n-1}}\end{array}$$
通常取${\lambda }_0={\lambda }_n=1/2$。

4.抛物线条件
使首末两端具有常矢量的二阶导矢：
$$\{\begin{array}{rl}& {\dot{\mathbf{p}}}_0+{\dot{\mathbf{p}}}_1=2\frac{\Delta {\mathbf{p}}_0}{{\Delta }_0}\\ & {\dot{\mathbf{p}}}_{n-1}+{\dot{\mathbf{p}}}_n=2\frac{\Delta {\mathbf{p}}_{n-1}}{{\Delta }_{n-1}}\end{array}$$

5.非节点条件
使首末两端为同一参数多项式，即样条曲线在$p_1$及$p_{n-1}$处$C^{\infty }$连续：
$$\{\begin{array}{rl}& {\Delta }_1{\dot{\mathbf{p}}}_0+({\Delta }_0+{\Delta }_1){\dot{\mathbf{p}}}_1=\frac{1}{{\Delta }_0+{\Delta }_1}[{\Delta }_1(3{\Delta }_0+2{\Delta }_1)\frac{\Delta {\mathbf{p}}_0}{{\Delta }_0}+({\Delta }_0{)}^2\frac{\Delta {\mathbf{p}}_1}{{\Delta }_1}]\\ & ({\Delta }_{n-2}+{\Delta }_{n-1}){\dot{\mathbf{p}}}_{n-1}+{\Delta }_{n-2}{\dot{\mathbf{p}}}_n=\frac{1}{{\Delta }_{n-2}+{\Delta }_{n-1}}[({\Delta }_{n-1}{)}^2\frac{\Delta {\mathbf{p}}_{n-2}}{{\Delta }_{n-2}}+{\Delta }_{n-2}(2{\Delta }_{n-2}+3{\Delta }_{n-1})\frac{\Delta {\mathbf{p}}_{n-1}}{{\Delta }_{n-1}}]\end{array}$$

对于n+1个数据点，构造参数化三次样条曲线，每一段样条都是参数三次多项式曲线，由4个系数矢量定义，即有4n个自由度。

如果每段连接处达到二阶连续，则连续性条件有3(n-1)个，且曲线经过n+1个数据点，所以共有4n-2个约束。

根据以上理论再确定两个边界条件，则参数化三次样条曲线就被完全定义。