MVDR自适应波束形成的MATLAB仿真

本篇简单介绍了MVDR自适应波束形成，并且给出了公式结论，着重对单目标多干扰的MVDR自适应波束形成进行MATLAB仿真

m0_73480582

1874人浏览 · 2025-02-17 00:14:30

m0_73480582 · 2025-02-17 00:14:30 发布

0 前言

本博客是作者在学习国防科技大学的《阵列信号处理》慕课中的学习感悟，希望能够帮助有需要的朋友

本篇简单介绍了MVDR自适应波束形成，并且给出了公式结论，重点对《阵列信号处理》中的MVDR方向图增益尝试了仿真复刻

1 MVDR自适应波束形成

本文所有公式以及部分图片均来自于《阵列信号处理》慕课PPT

1.1 介绍

MVDR（Minimum Variance Distortionless Response）自适应波束形成，也称最小方差无畸变响应波束形成，其中最小方差（Minimum Variance ）和无畸变响应（Distortionless Response）即为该算法的两大准则

$\min_{\omega}E\left[P_{i+n}\right]=\omega^{H}R_{i+n}\omega$

最小方差，即如公式所示，需要找到一个 $\omega$ 值，使得接收到干扰和噪声的功率最小，（实际上波束形成的过程就是在寻找一个合适的 $\omega$ 值）

$\mathrm{s.t.}\quad\boldsymbol{\omega}^{H}\boldsymbol{a}\left(\theta_{0}\right)=1$

无畸变响应，即在目标方向上的接收幅值为1，也为最大值，相当于进行了归一化，这是MVDR依据的准则

1.2 公式

由于本文偏实际应用，因此公式直接搬运《阵列信号处理》慕课PPT

$\begin{cases}\min_\omega E\left[P_{i+n}\right]=\omega^HR_{i+n}\omega\\\mathrm{s.t.}\quad\boldsymbol{\omega}^H\boldsymbol{a}\left(\theta_0\right)=1&\end{cases}$

最小方差和无畸变响应的准则如上公式所示，接下来运用拉格朗日乘子法进行 $\omega$ 的求解

目标函数为：

$L\left(\boldsymbol{\omega}\right)=\boldsymbol{\omega}^H\boldsymbol{R}_{i+n}\boldsymbol{\omega}+\lambda\left(\boldsymbol{\omega}^H\boldsymbol{a}\left(\theta_0\right)-1\right)$

求导，有：

$\lambda=-\frac{1}{\boldsymbol{a}(\theta_0)^H\boldsymbol{R}_{i+n}^{-1}\boldsymbol{a}(\theta_0)}$

得到最优权值：

$\omega=\frac{R_{i+n}^{-1}\boldsymbol{a}(\theta_{0})}{\boldsymbol{a}(\theta_{0})^{H}\boldsymbol{R}_{i+n}^{-1}\boldsymbol{a}(\theta_{0})}$

进一步可以整理为：

$\omega_{opt}=\mu R_{i+n}^{-1}\boldsymbol{a}\left(\theta_{0}\right)$

$\mu=\frac{1}{\boldsymbol{a}\left(\theta_{0}\right)^{H}\boldsymbol{R}_{i+n}^{-1}\boldsymbol{a}\left(\theta_{0}\right)}$

式中， $\omega_{opt}$ 是最终得到的最优权向量，也就是我们想要的东西

$R_{i+n}^{-1}$ 是干扰和噪声协方差矩阵的逆阵，详细可见《阵列信号处理》慕课，或者是MATLAB代码

$\boldsymbol{a}\left(\theta_{0}\right)$ 是目标方向的方向矢量

同时也给出阵增益：

$GA_{mvdr}=\frac{SINR_{mvdr}}{SINR_{e}}=\frac{\frac{P_{s}}{P_{i+n}}}{\frac{\sigma_{s}^{2}}{\rho_{i+n}}}$

$=\frac{\rho_{i+n}\sigma_{s}^{2}}{\mu\sigma_{s}^{2}}=\rho_{i+n}\boldsymbol{a}^{H}\left(\theta_{0}\right)\boldsymbol{R}_{i+n}^{-1}\boldsymbol{a}\left(\theta_{0}\right)\leq N$

1.3 慕课MVDR方向图增益

慕课中提供了MVDR的方向图增益，如图所示

红线即为MVDR自适应波束形成的方向图增益，其目标来波方向为100°，干扰方向为19°，60°，150°，其在目标方向处有最大的增益，在其他干扰方向进行了抑制

蓝线为常规波束形成CBF图线，可以与之对比，发现目标来波方向为100°时，CBF在60°与150°形成了波峰，可以借此与MVDR曲线对比来判断MVDR是否有抑制干扰的能力

本文最重要的两个公式：

$\omega_{opt}=\mu R_{i+n}^{-1}\boldsymbol{a}\left(\theta_{0}\right)$

$\mu=\frac{1}{\boldsymbol{a}\left(\theta_{0}\right)^{H}\boldsymbol{R}_{i+n}^{-1}\boldsymbol{a}\left(\theta_{0}\right)}$

直接将这两个公式代入进行仿真

2 MATLAB仿真

2.1 代码

本程序仿真也是以100°为目标来波方向，以19°，60°，150°为干扰方向，但是本程序为了简便，没有考虑噪声信号，有能力的朋友可以自己尝试完善

本程序参考张小飞的《阵列信号处理及MATLAB实现》

%三清
clc;
clear;
close all;

%参数设置
N = 16;     %均匀直线阵列阵元个数
lamda = 1;  %假设波长为1m
L = 1000;   %快拍个数
d = lamda/2;%阵元间距假设为半波长
fs = 1000;  %采样频率
f0 = 50;    %信号频率
t = [0:L-1]/fs; %时间序列

theta_target = 100; %目标方向
theta_interference = [19 60 150];%干扰方向

%生成阵列响应向量
a = @(theta) exp(1i * 2 * pi * d * (0:N-1)' * cosd(theta) / lamda);

%设置参考信号，第一个阵元接收到的信号即为参考信号
s = exp(1i*2*pi*f0*t);

%生成方向矢量
vs = a(theta_target);%生成信号方向矢量
vi = a(theta_interference);%生成干扰方向矢量

%生成阵列接收信号
xs = vs * s;%目标信号
xi = vi * (randn(length(theta_interference),L)+1i*randn(length(theta_interference),L));

%计算干扰和噪声的协方差矩阵，由于本程序没有设置噪声，因此直接计算干扰即可
Ri = (xi * xi') / L;

%避免因为协方差矩阵不满秩而导致逆矩阵无法计算，因此加上一个小量，对结果几乎无影响
Ri = Ri + 1e-6 * eye(N);


%MVDR波束形成器的最优权系数
w_opt = (Ri \ vs) / (vs' * (Ri \ vs));

%扫描角度设置，从0扫描到180度，这里细分为358份，也可以分的更细致一点
theta = linspace(0,180,358);

%生成方向图
v = a(theta);%生成角度扫描的方向矢量，角度从0扫描到180度
B = abs(w_opt' * v);

%生成方向图增益
G_u = 10*log10(B.^2/max(B)^2);

%后处理绘图
figure;
plot(theta,G_u,"LineWidth",1.5);%绘制曲线，设置粗细
xlim([0 180]);  %限制角度从0到180
ylim([-90 5]);  %限制幅度从-90到5
grid on;        %绘制网格
xlabel("角度/°");%绘制x轴标签
ylabel("归一化幅度/dB");%绘制y轴标签
legend("MVDR"); %绘制图例
title("方向图增益",'FontWeight', 'bold',"FontSize",12);%绘制标题，加粗，设置大小
set(gca,"LineWidth",1);%设置坐标轴粗细
% set(gca,"FontSize",12);
set(gca, 'FontWeight', 'bold');%加粗坐标轴文本

2.2 仿真MVDR方向图增益

MATLAB仿真图像如图所示

仿真图像在100°呈现出最大增益，在三个干扰方向19°，60°和150°出现抑制，且与慕课图像相似

3 结语

作者水平有限，如文中有错误，请大家积极评论指出，如文中有不足，请大家积极评论补充。如有志同道合的朋友，欢迎大家添加好友咨询，一起交流进步！

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