陀螺仪角速度的积分是否等于姿态角(欧拉角)?
角速度积分为什么不等于角度？角速度与欧拉角速度分别是什么？陀螺仪测量的是什么量？
1 IMU测量的是什么角速度？
IMU测量的是本体系在惯性系下的角速度在本体系下的分量，其测量的是绝对角速度 ω \omega ω。测量原理[[陀螺仪测量角速度原理|详见]]。
2 陀螺仪角速度的积分是否等于姿态角(欧拉角)？
首先回答不等于。
先给出否定的例子：
我们仅用陀螺仪测量的角速度积分作为姿态角度，第一张图，本体系处于水平，此时三轴姿态角为0°，
第一次旋转，绕俯仰轴旋转45度，此时姿态角为：俯仰角45° 滚转角0° 偏航角0°；
第二次旋转，绕偏航轴旋转90度，此时姿态角为：俯仰角0° 滚转角45° 偏航角90°；
显然，上述过程，如果用陀螺仪测得的角速度作为积分计算姿态，则得到，俯仰角45° 滚转角0° 偏航角90°；而实际上，旋转过后，俯仰角0° 滚转角45° 偏航角90°，与实际情况不符。
| 俯仰角 | 滚转角 | 偏航角 | |
|---|---|---|---|
| 陀螺仪测得 | 45 | 0 | 90 |
| 实际上 | 0 | 45 | 90 |
原因在于，角速度积分不等于姿态角，而欧拉角速度积分才等于姿态角，角速度、欧拉角、欧拉角速度三者之间存在一定的关系，即欧拉运动学方程
下面给出欧拉角运动学方程的推导过程。
欧拉角的定义
我们把坐标系旋转中的“3-2-1”旋转（Z-Y-X旋转）中的三个角度定义为偏航角 ϕ \phi ϕ、俯仰角 θ \theta θ和滚转角 ψ \psi ψ。
对应的旋转矩阵分别为：
R 3 ( ϕ ) = [ cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1 ] , R 2 ( θ ) = [ cos θ 0 − sin θ 0 1 0 s i n θ 0 cos θ ] , R 1 ( ψ ) = [ 1 0 0 0 c o s ψ sin ψ 0 − sin ψ cos ψ ] R_{3}(\phi)=\begin{bmatrix} \cos\phi&\sin\phi&0\\ -\sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}, R_{2}(\theta)=\begin{bmatrix} \cos\theta&0&-\sin\theta\\ 0&1&0\\ sin\theta&0&\cos\theta \end{bmatrix}, R_{1}(\psi)=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&cos\psi&\sin\psi\\ 0&-\sin\psi&\cos\psi\\ \end{bmatrix} R3(ϕ)= cosϕ−sinϕ0sinϕcosϕ0001 ,R2(θ)= cosθ0sinθ010−sinθ0cosθ ,R1(ψ)= 1000cosψ−sinψ0sinψcosψ
旋转方向为从惯性系到本体系的旋转即：
[ x y z ] = R 1 ( ψ ) R 2 ( θ ) R 3 ( ϕ ) [ X Y Z ] \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= R_1(\psi)R_2(\theta)R_3(\phi) \begin{bmatrix} X\\Y\\Z \end{bmatrix} xyz =R1(ψ)R2(θ)R3(ϕ) XYZ
我们最后要得出的是 [ ω x , ω y , ω z ] ′ [\omega_x,\omega_y,\omega_z]' [ωx,ωy,ωz]′与 [ ϕ ˙ , θ ˙ , ψ ˙ ] ′ [\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}]' [ϕ˙,θ˙,ψ˙]′,之间的关系，由于 ω \omega ω通常是陀螺仪测得的，其在本体系下分解，因此将其全部转换至本体系，
[ ω x ω y ω z ] = A i ⃗ + B j ⃗ + C k ⃗ \begin{bmatrix} \omega_x\\\omega_y\\\omega_z \end{bmatrix}= A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}
ωxωyωz
=Ai+Bj+Ck
因此，将每一步旋转过程中出现的欧拉角速度向量，都要转化为最终在本体系下的分量。
假设，惯性系为 ( I ⃗ , J ⃗ , K ⃗ ) (\vec{I},\vec{J},\vec{K}) (I,J,K)，第一次旋转产生的新坐标系为 ( I ⃗ ′ , J ⃗ ′ , K ⃗ ′ ) (\vec{I}',\vec{J}',\vec{K}') (I′,J′,K′)，第二次旋转产生的新坐标系为 ( I ⃗ ′ ′ , J ⃗ ′ ′ , K ⃗ ′ ′ ) (\vec{I}'',\vec{J}'',\vec{K}'') (I′′,J′′,K′′)，第三次旋转产生的新坐标系为 ( i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ ) (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) (i,j,k)。
从第三次旋转开始看，第三次旋转了 ψ \psi ψ角度，产生的角速度向量为
[ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ] [ ψ ˙ 0 0 ] \begin{bmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\psi}\\0\\0 \end{bmatrix} [ijk]
ψ˙00
第二次旋转了 θ \theta θ角度，产生的角速度向量为
[ I ⃗ ′ ′ J ⃗ ′ ′ K ⃗ ′ ′ ] [ 0 θ ˙ 0 ] = [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ] R 1 ( ψ ) [ 0 θ ˙ 0 ] \begin{bmatrix} \vec{I}''&\vec{J}''&\vec{K}'' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ \dot{\theta}\\ 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \end{bmatrix} R_1(\psi) \begin{bmatrix} 0\\ \dot{\theta}\\ 0\\ \end{bmatrix} [I′′J′′K′′]
0θ˙0
=[ijk]R1(ψ)
0θ˙0
第一次旋转了 ϕ \phi ϕ角度，产生的角速度向量为
[ I ⃗ ′ J ⃗ ′ K ⃗ ′ ] [ 0 0 ϕ ˙ ] = [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ ] R 1 ( ψ ) R 2 ( θ ) [ 0 0 ϕ ˙ ] \begin{bmatrix} \vec{I}'&\vec{J}'&\vec{K}' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\0\\\dot{\phi} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \end{bmatrix} R_1(\psi)R_2(\theta) \begin{bmatrix} 0\\0\\\dot{\phi} \end{bmatrix} [I′J′K′]
00ϕ˙
=[ijk]R1(ψ)R2(θ)
00ϕ˙
把上述三个式子相加，可得到
[ ω x ω y ω z ] 在 i j k 中表示 = R 1 ( ψ ) R 2 ( θ ) [ 0 0 ϕ ˙ ] + R 1 ( ψ ) [ 0 θ ˙ 0 ] + [ ψ ˙ 0 0 ] \begin{bmatrix} \omega_x\\\omega_y\\\omega_z \end{bmatrix}_{在ijk中表示}= R_1(\psi)R_2(\theta) \begin{bmatrix} 0\\0\\\dot{\phi} \end{bmatrix}+ R_1(\psi) \begin{bmatrix} 0\\ \dot{\theta}\\ 0\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \dot{\psi}\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
ωxωyωz
在ijk中表示=R1(ψ)R2(θ)
00ϕ˙
+R1(ψ)
0θ˙0
+
ψ˙00
展开后，可得：
[ ω x ω y ω z ] = [ 1 0 0 0 c o s ψ sin ψ 0 − sin ψ cos ψ ] [ cos θ 0 − sin θ 0 1 0 s i n θ 0 cos θ ] [ 0 0 ϕ ˙ ] + [ 1 0 0 0 c o s ψ sin ψ 0 − sin ψ cos ψ ] [ 0 θ ˙ 0 ] + [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ ψ ˙ 0 0 ] \begin{bmatrix} \omega_x\\\omega_y\\\omega_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&cos\psi&\sin\psi\\ 0&-\sin\psi&\cos\psi\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta&0&-\sin\theta\\ 0&1&0\\ sin\theta&0&\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\phi}\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&cos\psi&\sin\psi\\ 0&-\sin\psi&\cos\psi\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ \dot{\theta}\\ 0\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\psi}\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
ωxωyωz
=
1000cosψ−sinψ0sinψcosψ
cosθ0sinθ010−sinθ0cosθ
00ϕ˙
+
1000cosψ−sinψ0sinψcosψ
0θ˙0
+
100010001
ψ˙00
最终得到
[ ω x ω y ω z ] = [ 1 0 − sin θ 0 c o s ψ cos θ sin ψ 0 − sin ψ cos θ cos ψ ] [ ψ ˙ θ ˙ ϕ ˙ ] \begin{bmatrix} \omega_x\\\omega_y\\\omega_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&-\sin\theta\\ 0&cos\psi&\cos\theta\sin\psi\\ 0&-\sin\psi&\cos\theta\cos\psi\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\psi}\\\dot{\theta}\\\dot{\phi} \end{bmatrix}
ωxωyωz
=
1000cosψ−sinψ−sinθcosθsinψcosθcosψ
ψ˙θ˙ϕ˙
姿态角，可以从上式解出，值得注意的是，小角度下，上式可以进一步简化为：
[ ω x ω y ω z ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ ψ ˙ θ ˙ ϕ ˙ ] \begin{bmatrix} \omega_x\\\omega_y\\\omega_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\psi}\\\dot{\theta}\\\dot{\phi} \end{bmatrix}
ωxωyωz
=
100010001
ψ˙θ˙ϕ˙
此时角速度积分近似等于欧拉角速度积分等于欧拉角。
上式解方程过于困难，因此后续引入了四元数运动学方程来进行姿态解算。
3 关于欧拉角万向锁的解释
无伤理解欧拉角中的“万向死锁”现象_哔哩哔哩_bilibili
把一个问题想清楚并讲清楚不容易，感谢各位看官点赞！
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