动态面板模型与R
动态面板模型与R文章目录动态面板模型与R@[toc]1 动态面板模型2 差分GMM3 水平GMM4 系统GMM5 R操作1 动态面板模型含义：线性面板模型中含有被解释变量滞后项。例如yit=α+ρyi,t−1+βxit+μi+εit(1)y_{it} = \alpha+\rho y_{i,t-1}+\beta x_{it}+\mu_i+\varepsilon_{it}\tag{1}yit=α+ρ
动态面板模型与R
1 动态面板模型
含义：线性面板模型中含有被解释变量滞后项。例如
y i t = α + ρ y i , t − 1 + β x i t + μ i + ε i t (1) y_{it} = \alpha+\rho y_{i,t-1}+\beta x_{it}+\mu_i+\varepsilon_{it}\tag{1} yit=α+ρyi,t−1+βxit+μi+εit(1)
其中 i = 1 , 2 , … N i = 1,2,\dots N i=1,2,…N, t = 2 , 3 … T t = 2,3\dots T t=2,3…T， a a a为常数， μ i \mu_i μi为个体异质性， ε \varepsilon ε为扰动项， α \alpha α是常数项， ρ \rho ρ是被解释变量滞后系数； β \beta β为自变量， ε i t \varepsilon_{it} εit为白噪声。称（1)为动态面板数据模型(Dynamic Panel Data，简记DPD)。也称方程（1）为水平方程，即原始方程。显然 C o v ( y i , t − 1 , μ i ) ≠ 0 Cov(y_{i,t-1},\mu_i)\ne0 Cov(yi,t−1,μi)=0(无论被解释变量在时间上如何变化， μ i \mu_i μi都是其组成部分)。如果按照静态面板的固定效应模型思路，即组内离差变换得到
y i t − y ˉ i = ρ ( y i , t − 1 − L y ‾ i ) + β ( x i t − x ˉ i ) + ( ε i t − ε ˉ i ) ( t = 2 , ⋯ , T ) (2) y_{i t}-\bar{y}_{i}=\rho\left(y_{i, t-1}-\overline{L y}_{i}\right)+\beta\left(x_{i t}-\bar{x}_{i}\right)+\left(\varepsilon_{i t}-\bar{\varepsilon}_{i}\right) \quad(t=2, \cdots, T)\tag{2} yit−yˉi=ρ(yi,t−1−Lyi)+β(xit−xˉi)+(εit−εˉi)(t=2,⋯,T)(2)
其中 y ˉ i ≡ 1 T − 1 ∑ t = 2 T y i t \bar{y}_{i} \equiv \frac{1}{T-1} \sum_{t=2}^{T} y_{i t} yˉi≡T−11∑t=2Tyit, L y ‾ i = 1 T − 1 ∑ t = 2 T y i , t − 1 \overline{L y}_{i} = \frac{1}{T-1} \sum_{t=2}^{T} y_{i, t-1} Lyi=T−11∑t=2Tyi,t−1, ε ˉ i = 1 T − 1 ∑ t = 2 T ε i t \bar{\varepsilon}_{i} = \frac{1}{T-1} \sum_{t=2}^{T} {\varepsilon}_{i t} εˉi=T−11∑t=2Tεit。因此 C o v ( ( y i , t − 1 − L y ‾ i ) , ( ε i t − ε ˉ i ) ) ≠ 0 Cov(\left(y_{i, t-1}-\overline{L y}_{i}\right),\left(\varepsilon_{i t}-\bar{\varepsilon}_{i}\right) )\ne 0 Cov((yi,t−1−Lyi),(εit−εˉi))=0，故组内离差变换仍然存在固有的内生性，将这种内生性称为动态面板偏差。考虑差分变换将个体异质性去除，
Δ y i t = ρ Δ y i , t − 1 + β Δ x i t + Δ ε i t (3) \Delta y_{it} = \rho\Delta y_{i,t-1}+\beta\Delta x_{it} +\Delta \varepsilon_{it}\tag{3} Δyit=ρΔyi,t−1+βΔxit+Δεit(3)
称为动态面板的差分方程；由于
C o v ( Δ y i , t − 1 , Δ ε i t ) = C o v ( y i t − y i , t − 1 , ε i t − ε i , t − 1 ) = C o v ( y i t , ε i t ) + C o v ( y i t , ε i , t − 1 ) + C o v ( y i , t − 1 , ε i , t − 1 ) ≠ 0 \begin{aligned} Cov(\Delta y_{i,t-1},\Delta \varepsilon_{it}) & = Cov(y_{it}-y_{i,t-1},\varepsilon_{it}-\varepsilon_{i,t-1})\\ & = Cov(y_{it},\varepsilon_{it}) +Cov(y_{it},\varepsilon_{i,t-1})+ Cov(y_{i,t-1},\varepsilon_{i,t-1}) \ne 0 \end{aligned} Cov(Δyi,t−1,Δεit)=Cov(yit−yi,t−1,εit−εi,t−1)=Cov(yit,εit)+Cov(yit,εi,t−1)+Cov(yi,t−1,εi,t−1)=0
故使用差分方法后，动态面板的差分方程也存在内生性，且 Δ y i , t − 1 \Delta y_{i,t-1} Δyi,t−1为内生解释变量。
2 差分GMM
在差分方程条件下，给定时间长度为 T T T的面板数据，由于 Δ y i , t − 1 = y i , t − 1 − y i . t − 2 \Delta y_{i,t-1} = y_{i,t-1}-y_{i.t-2} Δyi,t−1=yi,t−1−yi.t−2为内生变量，扰动项为 Δ ε i t = ε i t − ε i , t − 1 \Delta \varepsilon_{it} = \varepsilon_{it}-\varepsilon_{i,t-1} Δεit=εit−εi,t−1,因此工具变量可以取 y i , t − 2 y_{i,t-2} yi,t−2,因为它既满足相关性，又满足外生性
{ C o v ( y i , t − 2 , y i , t − 1 − y i . t − 2 ) ≠ 0 C o v ( y i , t − 2 , ε i t − ε i , t − 1 ) = 0 \left\{\begin{array}{l} Cov(y_{i,t-2},y_{i,t-1}-y_{i.t-2}) \ne 0\\ Cov(y_{i,t-2},\varepsilon_{it}-\varepsilon_{i,t-1}) =0 \end{array}\right. {Cov(yi,t−2,yi,t−1−yi.t−2)=0Cov(yi,t−2,εit−εi,t−1)=0
同理， y i , t − 3 , y i , t − 4 , … y i 1 y_{i,t-3},y_{i,t-4},\dots y_{i1} yi,t−3,yi,t−4,…yi1都可视为内生变量 Δ y i , t − 1 = y i , t − 1 − y i . t − 2 \Delta y_{i,t-1} =y_{i,t-1}-y_{i.t-2} Δyi,t−1=yi,t−1−yi.t−2的工具变量。这些变量都称作GMM式工具变量。差分方程的GMM式工具变量个数共有
t − 2 + t − 3 + ⋯ + 1 = ( t − 1 ) ( t − 2 ) 2 t-2 +t-3+ \dots +1 = \frac{(t-1)(t-2)}{2} t−2+t−3+⋯+1=2(t−1)(t−2)
当然，这里需要假设解释变量 x x x是外生的。因此解释变量自身可以视为工具变量(这种工具变量称为标准型工具变量)，此时工具变量个数为
( t − 1 ) ( t − 2 ) 2 + K + 1 \frac{(t-1)(t-2)}{2}+K+1 2(t−1)(t−2)+K+1
其中 K K K为解释变量个数。现考虑差分方程的扰动项的方差协方差是否满足球形扰动假设。由于假定 ε i t \varepsilon_{it} εit为白噪声，故差分方程(3)中新的扰动项
v i t = Δ ε i t = ε i t − ε i , t − 1 v_{it} = \Delta \varepsilon_{it} = \varepsilon_{it} -\varepsilon_{i,t-1} vit=Δεit=εit−εi,t−1
一定存在一阶序列相关，证明如下
C o v ( v i t , v i , t − 1 ) = C o v ( ε i t − ε i , t − 1 , ε i , t − 1 − ε i , t − 2 ) = − C o v ( ε i , t − 1 , ε i , t − 1 ) = − σ ε 2 ≠ 0 \begin{aligned} Cov(v_{it},v_{i,t-1}) =& Cov( \varepsilon_{it} -\varepsilon_{i,t-1}, \varepsilon_{i,t-1} -\varepsilon_{i,t-2})\\ =& -Cov(\varepsilon_{i,t-1},\varepsilon_{i,t-1}) = -\sigma^2_\varepsilon \ne 0 \end{aligned} Cov(vit,vi,t−1)==Cov(εit−εi,t−1,εi,t−1−εi,t−2)−Cov(εi,t−1,εi,t−1)=−σε2=0
但不存在高阶序列相关，证明
C o v ( v i t , v i , t − 2 ) = C o v ( ε i t − ε i , t − 1 , ε i , t − 2 − ε i , t − 3 ) = 0 \begin{aligned} Cov(v_{it},v_{i,t-2}) =& Cov( \varepsilon_{it} -\varepsilon_{i,t-1}, \varepsilon_{i,t-2} -\varepsilon_{i,t-3}) =0 \end{aligned} Cov(vit,vi,t−2)=Cov(εit−εi,t−1,εi,t−2−εi,t−3)=0
差分方程扰动项的方差
C o v ( v i t , v i t ) = E ( ε i t − ε i , t − 1 ) 2 = 2 σ ε 2 Cov(v_{it},v_{it}) = E(\varepsilon_{it}-\varepsilon_{i,t-1})^2 = 2\sigma^2_\varepsilon Cov(vit,vit)=E(εit−εi,t−1)2=2σε2
故新的扰动项的一阶相关系数为
ρ v 1 = − − σ ε 2 2 σ ε 2 = − 0.5 \rho_{v1} = -\frac{-\sigma^2_\varepsilon}{2\sigma^2_\varepsilon} = -0.5 ρv1=−2σε2−σε2=−0.5
二阶及以后的自相关系数为0。差分方程的动态面板的扰动项存在自相关，且存在内生性，这里我们用GMM工具变量解决。但是，工具变量个数远大于内生变量个数，需要用广义矩估计(GMM)方法（2SLS是在球形扰动假设下成立的）。对动态面板的差分方程使用GMM估计称作差分GMM估计法。
3 水平GMM
差分GMM的局限是：
-
假定自变量为前定解释变量，但差分后 Δ x i t = x i , t − x i , t − 1 \Delta x_{it} = x_{i,t}-x_{i,t-1} Δxit=xi,t−xi,t−1与差分方差中的扰动项 Δ ε i t = ε i t − ε i , t − 1 \Delta \varepsilon_{it} = \varepsilon_{it}-\varepsilon_{i,t-1} Δεit=εit−εi,t−1可能存在相关性，进而导致解释变量也存在内生性问题；此时可将原解释变量的滞后项 { x i , t − 1 , x i , t − 2 … } \{x_{i,t-1},x_{i,t-2}\dots\} {xi,t−1,xi,t−2…}作为 Δ x i t \Delta x_{it} Δxit的工具变量；
-
对于时间范围较长的数据，使用GMM式工具变量的个数是关于 t t t的二次函数，随着时间跨度变长，工具变量增多，容易导致过度识别问题（因此需要限定GMM工具变量的滞后阶数）
-
差分GMM方法消除了非时变变量（种族、性别、文化等），无法估计非时变变量的系数
-
动态面板的持续性使 y i t y_{it} yit受到过去历史的影响，造成影响的持续性，自回归系数可能趋近1
为解决最后两个问题，Arellano and Bover (1995)在水平方程
y i t = α + ρ y i , t − 1 + β x i t + μ i + ε i t (1) y_{it} = \alpha+\rho y_{i,t-1}+\beta x_{it}+\mu_i+\varepsilon_{it}\tag{1} yit=α+ρyi,t−1+βxit+μi+εit(1)
的基础上，将 { Δ y i , t − 1 , Δ y i , t − 2 , ⋯ } \left\{\Delta y_{i, t-1}, \Delta y_{i, t-2}, \cdots\right\} {Δyi,t−1,Δyi,t−2,⋯}视为内生变量 y i , t − 1 y_{i,t-1} yi,t−1的工具变量
- 相关性条件：
c o v ( y i , t − 1 , Δ y i , t − 1 ) = c o v ( y i , t − 1 , y i , t − 1 − y i , t − 2 ) ≠ 0 cov(y_{i,t-1},\Delta y_{i, t-1})=cov(y_{i,t-1}, y_{i, t-1}-y_{i, t-2})\ne 0 cov(yi,t−1,Δyi,t−1)=cov(yi,t−1,yi,t−1−yi,t−2)=0
c o v ( y i , t − 1 , Δ y i , t − 2 ) = c o v ( y i , t − 1 , y i , t − 2 − y i , t − 3 ) ≠ 0 cov(y_{i,t-1},\Delta y_{i, t-2})=cov(y_{i,t-1}, y_{i, t-2}-y_{i, t-3})\ne 0 cov(yi,t−1,Δyi,t−2)=cov(yi,t−1,yi,t−2−yi,t−3)=0
注： y i t y_{it} yit具有持续性。
- 外生性条件：
c o v ( Δ y i , t − s , ( u i + ε i t ) ) = c o v ( Δ y i , t − s , u i ) + c o v ( Δ y i , t − s ε i t ) cov(\Delta y_{i, t-s},(u_i+\varepsilon_{it}))=cov(\Delta y_{i, t-s},u_i)+cov(\Delta y_{i, t-s}\varepsilon_{it}) cov(Δyi,t−s,(ui+εit))=cov(Δyi,t−s,ui)+cov(Δyi,t−sεit)
假定等式右边第一部分为0，即个体固定效应与工具变量不相关（现实数据不一定满足）；等式右边第二项
E ( Δ y i , t − s ε i t ) = E ( y i , t − s ε i t ) − E ( y i , t − s − 1 ε i t ) = 0 − 0 = 0 , s ≥ 1 \mathrm{E}\left(\Delta y_{i, t-s} \varepsilon_{i t}\right)=\mathrm{E}\left(y_{i, t-s} \varepsilon_{i t}\right)-\mathrm{E}\left(y_{i, t-s-1} \varepsilon_{i t}\right)=0-0=0, \quad s \geq 1 E(Δyi,t−sεit)=E(yi,t−sεit)−E(yi,t−s−1εit)=0−0=0,s≥1
称满足上述条件工具变量满足，使用 { Δ y i , t − 1 , Δ y i , t − 2 , ⋯ } \left\{\Delta y_{i, t-1}, \Delta y_{i, t-2}, \cdots\right\} {Δyi,t−1,Δyi,t−2,⋯}对水平方差进行GMM估计，称为水平GMM方法
4 系统GMM
系统GMM即将差分GMM与水平GMM结合在一起（Blundell and Bond(1998)），在差分GMM基础上引入新的矩条件
E [ Δ y i , t − 1 ( u i + ε i t ) ] = 0 \mathrm{E}\left[\Delta y_{i, t-1}\left(u_{i}+\varepsilon_{i t}\right)\right]=0 E[Δyi,t−1(ui+εit)]=0
系统GMM优点与局限
- 提高估计效率（小样本）
- 可以估计非时变变量系数
- 必须满足 c o v ( Δ y i , t − s , u i ) = 0 , s > 1 cov(\Delta y_{i, t-s},u_i)=0,s>1 cov(Δyi,t−s,ui)=0,s>1
5 R操作
第一步：使用计量包plm即可，安装与加载plm，并使用pgmm函数
install.packages("plm")
library(plm)
data("EmplUK", package = "plm") # 加载数据
数据不做介绍了。第二步：
## Arellano and Bond (1991), table 4 col. b
z1 <- pgmm(log(emp) ~ lag(log(emp), 1:2) + lag(log(wage), 0:1)
+ log(capital) + lag(log(output), 0:1) | lag(log(emp), 2:99),
data = EmplUK, effect = "twoways", model = "twosteps")
summary(z1, robust = FALSE)
# Twoways effects Two steps model
#
# Call:
# pgmm(formula = log(emp) ~ lag(log(emp), 1:2) + lag(log(wage),
# 0:1) + log(capital) + lag(log(output), 0:1) | lag(log(emp),
# 2:99), data = EmplUK, effect = "twoways", model = "twosteps")
#
# Unbalanced Panel: n = 140, T = 7-9, N = 1031
#
# Number of Observations Used: 611
#
# Residuals:
# Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
# -0.6190677 -0.0255683 0.0000000 -0.0001339 0.0332013 0.6410272
#
# Coefficients:
# Estimate Std. Error z-value Pr(>|z|)
# lag(log(emp), 1:2)1 0.474151 0.085303 5.5584 2.722e-08 ***
# lag(log(emp), 1:2)2 -0.052967 0.027284 -1.9413 0.0522200 .
# lag(log(wage), 0:1)0 -0.513205 0.049345 -10.4003 < 2.2e-16 ***
# lag(log(wage), 0:1)1 0.224640 0.080063 2.8058 0.0050192 **
# log(capital) 0.292723 0.039463 7.4177 1.191e-13 ***
# lag(log(output), 0:1)0 0.609775 0.108524 5.6188 1.923e-08 ***
# lag(log(output), 0:1)1 -0.446373 0.124815 -3.5763 0.0003485 ***
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Sargan test: chisq(25) = 30.11247 (p-value = 0.22011)
# Autocorrelation test (1): normal = -2.427829 (p-value = 0.01519)
# Autocorrelation test (2): normal = -0.3325401 (p-value = 0.73948)
# Wald test for coefficients: chisq(7) = 371.9877 (p-value = < 2.22e-16)
# Wald test for time dummies: chisq(6) = 26.9045 (p-value = 0.0001509)
动态面板主要关注过度识别检验Sargan与自相关AR(1)和AR(2)。怎么检验就不说了，具体方法help(pgmm)，太困了不写了。
参考文献
陈强.高级计量经济学[M].高等教育出版社
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