欧拉公式的几种证明

欧拉公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ 可以通过多种方法证明，以下是几种经典证明的总结：

1. 泰勒级数展开法

步骤：

• 将 $e^{i\theta }$ 展开为泰勒级数：
  $$e^{i\theta }=1+i\theta +\frac{(i\theta {)}^2}{2!}+\frac{(i\theta {)}^3}{3!}+\cdots$$

• 利用 $i^2=-1$，拆分为实部和虚部：
  $$\text{实部：}1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\cdots =\cos \theta ,$$

  $$\text{虚部：}i\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\cdots \right)=i\sin \theta .$$

• 合并得：
  $$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$

关键点：
指数函数与三角函数的泰勒级数在复数域内均绝对收敛，替换 $x=i\theta$ 合法。

2. 微分方程法

步骤：

• 定义函数 $f(\theta )=e^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )$。

• 计算导数：
  $$f^{\prime }(\theta )=-i{e}^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )+e^{-i\theta }(-\sin \theta +i\cos \theta ).$$

• 化简得 $f^{\prime }(\theta )=0$，说明 $f(\theta )$ 为常数。

• 代入 $\theta =0$ 得 $f(0)=1$，故：
  $$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$

关键点：
利用导数和初始条件证明函数恒等，展示了复指数与三角函数的微分一致性。

3. 构造函数导数法

步骤：

• 分别验证 $e^{i\theta }$ 和 $\cos \theta +i\sin \theta$ 满足同一微分方程：
  $$\frac{d}{d\theta }f(\theta )=if(\theta ),$$
  初始条件 $f(0)=1$。

• 由微分方程解的唯一性定理，两函数必相等，即：
  $$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$

关键点：
通过唯一性定理直接关联两个函数，无需展开即可得证。

总结

以上三种方法分别基于级数展开、微分方程及函数导数性质，均严格证明了欧拉公式。泰勒级数法直观易懂，微分方程法和构造函数法则体现了更深层次的数学结构一致性。这些方法共同揭示了复指数函数与三角函数之间的深刻联系。