行列式

1.什么是行列式

行列式是一个数学概念,主要用于线性代数中,它是一个可以从方阵(即行数和列数相等的矩阵)形成的一个标量(即一个单一的数值)。

\begin{cases}3x+4y=5\\ 7x+9y=11\end{cases}

可以得到一个二阶行列式

当行列式不等于0时,原方程有解

n阶行列式

排列

排列是指从一组元素中选出若干个元素,并按照一定的顺序排列起来。对于一个包含 n 个元素的集合,其所有元素的全排列数目是 n!(即 n 的阶乘)。例如,集合 {1,2,3}的全排列有 3!=6种,分别是:

  • (1,2,3)

  • (1,3,2)

  • (2,1,3)

  • (2,3,1)

  • (3,1,2)

  • (3,2,1)

逆序

逆序是指在一个排列中,如果一个较大的数排在一个较小的数前面,则称这两个数构成一个逆序。逆序的总数称为逆序数。逆序数可以帮助我们理解排列的“混乱”程度。

例如,在排列 (3,1,4,2) 中,逆序有:

  • 3 和 1 构成一个逆序

  • 3 和 2 构成一个逆序

  • 4 和 2 构成一个逆序

因此,这个排列的逆序数是 3。逆序的表示符号为N或者为τ(读作涛)

逆序数的计算

计算一个排列的逆序数可以通过遍历排列中的每一对元素来实现。具体步骤如下:

  1. 对于排列中的每一个元素,计算它后面有多少个比它小的元素。

  2. 将这些计数相加,得到总的逆序数。

例如,计算排列 (3,1,4,2)的逆序数:

  • 元素 3 后面有2比它小的元素(1, 2),逆序数为 2。

  • 元素 1 后面没有比它大的元素,逆序数为 0。

  • 元素 4 后面有1个比它大的元素(1),逆序数为 1。

  • 元素 2 是最后一个元素,逆序数为 0。

总的逆序数为N2+0+1+0=3

奇排列和偶排列

如果一个排列的逆序数是奇数,则称该排列为奇排列;如果是偶数,则称该排列为偶排列。

例如:

N(1432) = 3,则1432为奇排列;N(4321)=6,则4321为偶排列

对换

对排列中的任意两个元素进行交换(称为对换),会改变排列的奇偶性。即,奇排列经过一次对换变成偶排列,偶排列经过一次对换变成奇排列。

例如:

N(651243)=10,为偶排列,将5和1兑换,则N(615243)=9,为奇排列

特殊n阶行列式

1.行列式某一行(列)全为0,则行列式为0

2.三角形行列式等于对角线元素的乘积

行列式性质

性质1:行列式的转置等于行列式本身。

性质2:交换行列式的两行会导致行列式的值变为其原来的相反数。
推论:行列式两行(列)相等,则行列式为0

性质3:用k乘以行列式某一行的所有元素,等于用k乘以行列式
推论:如果行列式的某一行(或某一列)的所有元素都有公因子 k,那么这个公因子 k可以提取到行列式外面一次。
推论:如果一个行列式的两行(或两列)对应成比例,那么这个行列式的值必定为零。

性质4:如果一个行列式的某一行(或某一列)是两个数之和,那么这个行列式可以表示为两个行列式的和。
性质:将行列式的某一行(列)乘以一个数加到另一行(列)上,行列式的值保持不变。(常用)

代数余子式

余子式:

给定一个 n×n的矩阵 A,其第 i 行第j 列的元素 aij的余子式 Mij是指去掉第i行和第j列后得到的 (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式。

克莱姆法则

基本概念

假设有一个由 n 个线性方程组成的n 元线性方程组:

我们可以将这个方程组写成AX=B,其中:

克莱姆法则

注意:克莱姆法则前提:1.方程个数=未知数个数;2.系数行列式det⁡(A)!=0

根据克莱姆法则,如果系数矩阵 A 的行列式 det⁡(A)≠0,那么方程组有唯一解,且解 X 的每一个分量 xi可以通过以下公式计算:

其中,Ai是将矩阵 A 的第i 列替换为向量 B 后得到的新矩阵。

克莱姆法则在处理小规模、非奇异线性方程组时是一个有用的工具,尤其在理论推导和解析解求解中。然而,对于大规模或数值稳定性要求高的实际问题,通常会选择其他更高效的数值方法,如高斯消元法、LU分解或矩阵求逆等。

矩阵

矩阵定义

矩阵的定义

矩阵是由一组数按照矩形排列而成的数表。矩阵通常用大写字母表示,例如 AA、BB 等。矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。

一个 m×n的矩阵 AA 可以表示为:

其中 aij表示矩阵 A中第i行第j列的元素。

同型矩阵

设矩阵 AA 和 BB 分别为:

如果 A 和 B 的维度相同,即 A 和 B 都是 m×n 矩阵,那么A 和 B 就是同型矩阵。

矩阵相等

如果A 和 B 的维度相同,即 A 和 B 都是 m×n矩阵,并且对于所有 i 和 j,都有 aij=bij,那么我们称矩阵 A 和 B 相等,记作 A=B。

矩阵相等的条件

  1. 维度相同:两个矩阵的行数和列数必须相同。

  2. 对应元素相等:所有对应位置的元素必须相等。

特殊类型的矩阵

方阵

一个 n×n 的方阵 A 可以表示为:矩阵的行数=列数

方阵有主对角线和副对角线,非方阵没有主对角线和副对角线。

特殊的方阵

单位矩阵

主对角线上的元素都是 1,其余元素都是 0 的方阵,记作 I 或 E。

对角矩阵

主对角线上的元素可以是任意值,其余元素都是 0 的方阵。

上三角矩阵

主对角线及其上方的元素可以是任意值,主对角线下方的元素都是 0 的方阵。

下三角矩阵

主对角线及其下方的元素可以是任意值,主对角线上方的元素都是 0 的方阵。

零矩阵

一个 m×n的零矩阵 O 可以表示为:

其中所有元素都是零。零矩阵的维度由它的行数和列数决定,记作 m×n。

思考:两个零矩阵相等?

错误,两个同型的零矩阵相等。

行矩阵

行矩阵(Row Matrix),也称为行向量(Row Vector),是线性代数中的一种特殊矩阵,它只有一行,但可以有多列。具体来说,一个

1×n 的矩阵称为行矩阵或行向量。行矩阵的维度是 1×n,其中 n 是列数。

列矩阵

列矩阵(Column Matrix),也称为列向量(Column Vector),是线性代数中的一种特殊矩阵,它只有一列,但可以有多行。具体来

说,一个 m×1 的矩阵称为列矩阵或列向量。列矩阵的维度是 m×1,其中 m 是行数。

矩阵的加法

矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相加,得到一个新的矩阵。具体来说,如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同,即都是

m×n矩阵,那么它们的和 C=A+B也是一个 m×n 矩阵,其中 C 的每个元素 cij 是 A 和 B 对应位置元素的和,即 cij=aij+bij。

矩阵加法的性质

  1. 交换律:矩阵加法满足交换律,即 A+B=B+A。

  2. 结合律:矩阵加法满足结合律,即 (A+B)+C=A+(B+C)。

  3. 零矩阵:零矩阵 O 是矩阵加法的单位元,即对于任何矩阵 A,有 A+O=A。

  4. 负矩阵:对于任何矩阵 A,存在一个负矩阵 −A,使得 A+(−A)=O。

矩阵的减法

矩阵的减法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相减,得到一个新的矩阵。具体来说,如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同,即都是m×n 矩阵,那么它们的差 C=A−B 也是一个 m×n 矩阵,其中 C 的每个元素 cij是 A 和 B 对应位置元素的差

矩阵减法的性质

  1. 反交换律:矩阵减法不满足交换律,即 A − B ≠ B − A。

  2. 结合律:矩阵减法满足结合律,即 (A − B) − C = A − (B + C)。

  3. 零矩阵:零矩阵 O 在矩阵减法中扮演着类似于数字零的角色,即对于任何矩阵 A,有 A − O = A。

矩阵的数乘

矩阵的数乘(Scalar Multiplication)是指一个矩阵与一个标量(即一个实数或复数)相乘,结果是一个新的矩阵。具体来说,如果A 是

一个 m×n 的矩阵,k 是一个标量,那么它们的数乘 kA 也是一个 m×n 的矩阵,其中 kA 的每个元素是 A 对应位置元素与标量 k 的乘积。

矩阵提公因子:矩阵的所有元素均有公因子k,则k向外提一次。

行列式提公因子:行列式的某一行有公因子k,则k向外提一次。

矩阵数乘的性质

  1. 结合律:矩阵数乘满足结合律,即对于任何标量 k 和 l,以及任何矩阵 A,有 (kl)A = k(lA)=l(kA)。

  2. 分配律:矩阵数乘满足分配律,即对于任何标量 k 和 l,以及任何矩阵 A,有 (k+l)A = kA + lA。

  3. 标量乘法与矩阵加法的分配律:对于任何标量 k,以及任何矩阵 A 和 B,有 k(A+B) = kA + kB。

  4. 单位标量:标量 1 是矩阵数乘的单位元,即对于任何矩阵 A,有 1A=A。

  5. 零标量:标量 0 是矩阵数乘的零元,即对于任何矩阵 A,有 0A=O,其中 O 是零矩阵。

矩阵的乘法

矩阵的乘法是线性代数中的一个基本运算,它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

矩阵乘法的条件

两个矩阵A 和 B 能够相乘的条件是:矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。具体来说,如果矩阵 A 是 m×n 的矩阵(即 m

行 n 列),矩阵 B 是 n×p 的矩阵(即 n 行 p 列),那么它们可以相乘,并且乘积矩阵 C 将是 m×p 的矩阵。即乘积矩阵C的行数等于矩

阵A的行数,矩阵C的列数等于矩阵B的列数(中间相等,取两端)。

矩阵乘法的定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵,B 是一个 n×p 的矩阵,那么它们的乘积 C=A×B 是一个 m×p 的矩阵,其中 C 的第 i 行

第 j 列的元素 cij 定义为:

其中 aik 是矩阵 A 的第i行第 k 列的元素,bk 是矩阵 B 的第 k 行第j 列的元素。

矩阵乘法的性质

  • 结合律:对于任意三个矩阵 A、B 和 C,如果它们的维度使得乘法有意义,那么 (A×B)×C=A×(B×C)。

  • 分配律:对于任意三个矩阵 A、B 和 C,如果它们的维度使得乘法有意义,那么 A×(B+C)=A×B+A×C 和 (A+B)×C=A×C+B×C。

  • 单位矩阵:对于任意矩阵 A,如果存在一个单位矩阵 E(维度与A 相匹配),那么 A×E=E×A=A,注意两个E的维度不一定一样。

矩阵乘法不满足的性质

  • 交换律:AXB一般不等于BXA,如矩阵A维度2x2,B维度2x3,AxB的维度=2x3,BxA则不能相乘,因为B的列数不等于A的行数。如果AXB等于BXA,则矩阵A和B是同阶的方阵,并称A和B是可交换的矩阵。

  • 消去律:由AXB=AXC,不能推导出B=C

  • 由AxB=O,不能推出A=O或B=O

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