参考：

    Iain Explains Signals, Systems, and Digital Comms
 

前言：

      这里面 主要通过两个例子帮助进一步了解卷积。

目录：

     1： 两个指数函数的卷积

     2：  阶跃函数和指数函数的卷积

一   指数函数的卷积

    如下求

  y(t)=\int x(\tau) z(t-\tau)d\tau

 

  其中x 和z 的取值范围如下图

      

     其中z(t-\tau), 此刻t 为常数

  因为：   0<t-\tau<2

  所以  t-2<\tau<t

  当 \tau=t 此刻z(t-t)=z(0)

      \tau=t-2,此刻z(t-\tau)=z(2)

  1.1 t<0

      

 

     y(t)= \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)z(t-\tau)d\tau

             =0

  1.2   0<t<1

 

 y(t)=\int_{0}^{t}e^{\tau}e^{t-\tau}d\tau

       =e^{t}t

1.3  1<t<2 时

      图1 完全被重叠， 

   即t-2<0, t>1

 y(t)=\int_{0}^{1}e^{\tau}e^{t-\tau}d\tau

         =e^t

1.4  2<t<3

    即 t-2>0 and  t-2<1

   y(t)= \int_{t-2}^{1}e^td\tau

          e^t(3-t)

 1.5 t>3

    此刻 y=0

 

二   阶跃函数和指数函数的卷积

 

   2.1 当t<3 时

         y(t)=0

   2.2 当 3<t<5时

          y(t)=\int_{3}^{t}e^{-3(t-\tau)}d\tau

               =e^{-3t}\int_{3}^{t}e^{3\tau}d\tau

             =\frac{1}{3}[1-e^{-3t+9}]

  2.3 t>5

      此刻

        y(t)=\int_{3}^{5}e^{-3(t-\tau)}d\tau

      =\frac{1}{3}(1-e^{-15+9})

    

       

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