终值定理及其应用

kktmsn

3440人浏览 · 2022-10-06 23:50:03

kktmsn · 2022-10-06 23:50:03 发布

定理1 若 $L[f(t)]=F(s)$ ，且 $sF(s)$ 的所有奇点都在 $s$ 平面的左侧或是位于原点的单阶极点，则

$\lim_{t\rightarrow+ \infty }f(t)=\lim_{s\rightarrow 0 }sF(s)$

或

$f(+\infty )=\lim_{s\rightarrow 0}sF(s)$

例1 已知 $F(s)=L[f(t)]=\frac{1}{s^{2}+1}$ ,试问是否能用终值定理求出 $f(+\infty )$ .

解因为 $\frac{s}{s^{2}+1}$ 在虚轴上有奇点 $s=\pm i$ ，故 $F(s)$ 不满足终值定理的条件，所以不能应用终值定理判断 $f(+\infty )$ 存在并求出它的值.

在应用上，当系统较为复杂时，终值定理的方便之处将更加突出，因为它不需要做逆变换，即可求出原函数的终值.对于某些反馈系统的研究就是这样.

关于上述定理的物理概念可以这样解释： $s\rightarrow0$ 时，相当于直流状态，因而得到电路稳定的终值 $f(+\infty)$ .

控制系统的稳态误差的时域表达式为 $e(t)=L^{-1}[E(s)]=L^{-1}[{\Phi _{e}(s)\cdot R(s)}]$ ,

式中

$\Phi _{e}(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s)H(s)}$

控制系统的稳态误差可以借助于拉氏变换终值定理求得.当 $s\cdot E(s)$ 的极点均在左半平面（包括原点），则有

$e_{ss}=\lim_{t\rightarrow\infty}e_{ss}(t)=\lim_{s\rightarrow0}sE(s)=\lim_{s\rightarrow0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}$

这种方法不能反映稳态误差随时间的变化情况.

例2 某系统的传递函数为 $\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K(K_{c}s+1)}{s(Ts+1)+K}$ ,设输入 $r(t)=t$ ，误差 $e(t)=r(t)-c(t)$ ,为使稳态误差为零，即 $e_{ss}(\infty)=0$ , $K_{c}$ 应取何值？

解由 $R(s)=\frac{1}{s^{2}}$ , $E(s)=R(s)-C(s)$ 得到

$\Phi _{e}(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=1-\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{s(Ts+1-K_{c}K)}{s(Ts+1)+K}$

于是

$sE(s)=s\cdot\Phi_{e}(s)\cdot R(s)=s \cdot \frac{s(Ts+1-K_{c}K)}{s(Ts+1)+K}\cdot \frac{1}{s^{2}}$ ,

故可用 $D(s)=s(Ts+1)+K=Ts^{2}+s+K$ 来判断是否可用终值定理.

劳斯表

$s^{2}$	$T$ $K$
$s^{1}$	$1$
$s^{0}$	$K$

当 $T>0,K>0$ 时， $sE(s)$ 的奇点全部在左半平面，可以应用终值定理.

$e_{ss}=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot E(s)=\frac{1}{K}-K_{c}$ .

当 $K_{c}=\frac{1}{K}$ 时， $e_{ss}=0$ .

由此题可以看出，对于不同结构类型的系统，在求取稳态误差时，首先要明确误差的定义式，其次再求出误差传递函数，然后就可以根据需要采取误差终值法或者和误差级数法进行求解了.值得注意的是，在采用误差终值法时，要判断能不能使用终值定理.

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