图像处理中的二阶矩矩阵（结构张量）

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二阶矩矩阵，也叫做结构张量，在数学中是由一个函数的梯度计算出来的矩阵。它描述了梯度在某一点的邻域的分布。因此常被用于特征提取。
离散形式的结构张量计算方式为：
$$S_w[p]=\left[\begin{array}{cc}{\sum }_{r}w[r](I_x[p-r]{)}^2& {\sum }_{r}w[r]I_x[p-r]I_y[p-r]\\ {\sum }_{r}w[r]I_x[p-r]I_y[p-r]& {\sum }_{r}w[r](I_y[p-r]{)}^2\end{array}\right]$$
其中$p=(x,y)$是窗口的中心点，$p-r$通过$r$的变化得以遍历窗口中所有像素。$I_x[p],I_y[p]$表示在p点x、y方向上的像素梯度值。$w[r]$是窗口权函数，在窗口内合为1。
上面的式子同样可以写成：
$$S_w[p]=\sum _{r}w[r]S_0[p-r]$$
其中$S_0=\left[\begin{array}{cc}(I_x[p]{)}^2& I_x[p]I_y[p]\\ I_x[p]I_y[p]& (I_y[p]{)}^2\end{array}\right]$

$S_w$矩阵的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2$和对应的特征向量$e_1,e_2$描述了窗口内梯度的分布情况。例如，当${\lambda }_1\gg \lambda 2$时，表示窗口内在$e_1$方向上灰度变化明显，而在$e_2$方向上不如$e_1$变化明显；当${\lambda }_1=\lambda 2=0$时，表示窗口内无灰度变化。