1、等效旋转矢量

目的：建立转动前后2个矢量r与r’ 之间的线性变换关系。
结果：可推导得罗德里格旋转公式，该公式即可描述转动前后两矢量间的变换关系。

首先给出 如下等效旋转矢量图：

上图中，矢量r 绕另一单位矢量u 转动$\varphi$ 角度得矢量r’ ，以下对前后两矢量间几何运算关系进行求解。

首先假设r 和 u 共起点 O 。矢量r 的矢端A在u 上的投影为O’，在 u上的投影为OO’。以O’ 为圆心，O’A为半径画圆，则r’ 的矢端A’ 必然在圆上，作O’B $\perp$O’A ，则有

O’B=u x r

对矢量r进行分解，可分为平行于u的矢量r//和垂直于u的矢量r$\perp$，可推得“

r=OO’ +O’A，r=r// +r$\perp$

其中

r// =（r * u）u，r$\perp$ = O’B x u = （u x r ）x u

上式中（r * u）为r在矢量u方向的投影模长。至此完成矢量r相对于旋转轴u的分解。
同理，r’ 也可以相对于u进行分解，即r’=OO’+O’A’。而其中OO’=r// 。

目前，仅剩下O’A’ 还未被表示。将O’A’ 在O’B 和O’A 两个方向进行分解。可表示如下：

O’A’ = O’Acos$\varphi$ + O’Bsin$\varphi$ 结合公式
O’A = r$\perp$ = O’B x u = （u x r ）x u
O’B=u x r 得 ------>O’A’ = O’Acos$\varphi$ + O’Bsin$\varphi$ = （u x r ）x u cos$\varphi$ + u x r sin$\varphi$

由此，r’ 可完整展开为如下公式：

r’ = OO’+O’A’
= r// + [u x r ）x u cos$\varphi$ + u x r sin$\varphi$]
=（r * u）u + [(u x r ) x u cos$\varphi$ + u x r sin$\varphi$]

结合三重矢积公式

可得：

（r * u）u =（u * r）u = u x（u * r）+ |u|${}^2$r = [I + (ux)${}^2$]r

代入公式 r’ =（r * u）u + [(u x r ) x u cos$\varphi$ + u x r sin$\varphi$] 得：

r’ = [I + (ux)${}^2$]r - [(u x )${}^2$r cos$\varphi$ +u x r sin$\varphi$]
=[I + sin$\varphi$ (ux) +(1 - cos$\varphi$)(ux)${}^2$]r = Dr
其中D = I + sin$\varphi$ (ux) +(1 - cos$\varphi$)(ux)${}^2$
D就是罗德里格公式。

该公式与旋转轴以及旋转角度相关。