之前学习过《矩阵分析》课程，当时刚学完，对课程内容还比较熟悉，刚好有这样一个代码复现——Jordan标准型。现在回看一下，很多知识都不记得了，所以知识还是要多用才能有记忆。

在介绍Jordan标准型之前，我先来介绍一下 相似对角形 的基础知识，以便于更好的理解Jordan标准型。因为 “矩阵不一定存在对角标准型，但是一定有约当标准型” 这句话真的会考 😢

对角标准型

设 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，$A$可以对角化的充要条件是 $A$ 有n个线性无关的特征向量。相似对角化意味着，存在一个可逆矩阵 $P$ 和一个对角矩阵 $D$，使得 $$A=PD{P}^{-1}$$

特征

1. 对角矩阵 $D$ 的对角线元素是矩阵 $A$ 的特征值。

2. 可逆矩阵 $P$ 的列向量是矩阵 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。

3. 对于矩阵 $A$ 的每个特征值，其几何重数小于等于其代数重数。

4. 矩阵 $A$ 可以对角化的充要条件是每个特征值的几何重数等于其代数重数。

   • 代数重数：一个特征值作为矩阵特征多项式的根的重数。
   • 几何重数：一个特征值对应的特征空间的维数，即该特征值对应的线性无关特征向量的个数。

5. 如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$v$ 是对应的特征向量，那么 $A^{k}v={\lambda }^{k}v$ 对于任何正整数 $k$ 都成立。

6. 如果 $A$ 是实对称矩阵，那么 $A$ 的所有特征值都是实数，且不同特征值对应的特征向量正交。

7. 如果$A$ 可以对角化，即 $A=PD{P}^{-1}$，那么 $e^A=PeD{P}^{-1}$。

求解矩阵 $P$ 的过程

1. 求特征值
   设矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$。首先需要求解 $A$ 的特征值。特征值是特征多项式的根，特征多项式定义为：
   $$\det (A-\lambda I)=0$$
   其中 $I$ 是单位矩阵，$\lambda$ 是特征值。

2. 求特征向量
   对于每个特征值 ${\lambda }_i$，需要求解对应的特征向量。特征向量是方程
   $$(A-{\lambda }_{i}I)v_i=0$$
   的非零解，其中 $v_i$ 是特征值 ${\lambda }_i$ 对应的特征向量。解这个齐次线性方程组，可以得到特征向量。

   • 如果特征值 ${\lambda }_i$ 的代数重数为1，则只需找到一个非零解 $v_i$。
   • 如果特征值 ${\lambda }_i$ 的代数重数大于1（例如重数为 $m$），则需要找到 $m$ 个线性无关的特征向量。如果不能找到足够多的线性无关特征向量，则矩阵 $A$ 不能对角化。

3. 构造矩阵 $P$
   将所有线性无关的特征向量 $v_1,v_2,\dots ,v_n$ 作为列向量，构造矩阵 $P$：
   $$P=[v_1{v}_2\dots v_n]$$
   矩阵 $P$ 是可逆的，其列向量是 $A$ 的特征向量。

4. 构造对角矩阵 $D$
   对角矩阵 $D$ 的对角线元素是矩阵 $A$ 的特征值，排列顺序与 $P$ 中特征向量的顺序一致：
   $$D=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \dots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

5. 验证
   为了验证 $P$ 和 $D$ 是否正确，可以检查以下关系是否成立：
   $$A=PD{P}^{-1}$$
   如果等式成立，则说明矩阵 $A$ 可以对角化，且 $P$ 和 $D$ 是正确的。

Jordan标准型

Jordan标准型（Jordan Canonical Form）是矩阵在相似变换下的最简形式，其核心思想是将任意矩阵分解为Jordan块的直和，对于线性代数具有重要意义。
形如
$$J_i=\left(\begin{array}{ccccccc}& {\lambda }_i& 1& & & & \\ & & {\lambda }_i& 1& & & \\ & & & {\lambda }_i& \ddots & & \\ & & & & \ddots & \ddots & \\ & & & & & {\lambda }_i& 1\\ & & & & & & {\lambda }_i\end{array}\right)$$
的方形矩阵称为$r_i$阶的约当快，由若干个约当块构成的分块对角矩阵
$$J=\underset{i=1}{\overset{s}{⨁}}{J}_i=\left(\begin{array}{ccccc}& J_1& & & \\ & & J_2& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & J_s\end{array}\right)$$
称为Jordan标准型（又称 ‘约当标准型’）。其中符号 $⨁$ 表示 “直和” 操作。

特征

1. 约当块是一个上三角矩阵，其对角线上的元素都是同一个特征值 $\lambda$，而对角线上方的元素为1，其余全为0。
2. 约当标准型是一个分块对角矩阵，其对角线上的块是约当块。
3. 任何复数域上的方阵都存在约当标准型，即存在一个可逆矩阵 $P$ 和一个约当标准型矩阵 $J$，使得 $A=PJ{P}^{-1}$。
4. 约当标准型的对角线上的元素是矩阵 A 的特征值，每个约当块对应一个特征值，约当块的维数等于该特征值的代数重数。
5. 几何重数和代数重数：
   • 一个特征值的几何重数等于其对应的约当块的个数。
   • 一个特征值的代数重数等于其对应的约当块的大小之和。
6. 如果 A 可以化为约当标准型，即 $A=PJ{P}^{-1}$，那么 $A^k=P{J}^k{P}^{-1}$对于任何正整数 $k$ 都成立。
7. 如果 A 可以化为约当标准型，即 $A=PJ{P}^{-1}$，那么 $e^A=P{e}^J{P}^{-1}$ 。
8. 任何复数域上的方阵都可以通过初等变换化为约当标准型。

求解约当标准型 $J$ 和矩阵 $P$ 的过程

1. 求特征值
   设矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$（复数域上的方阵）。首先需要求解 $A$ 的特征值。特征值是特征多项式的根，特征多项式定义为：
   $$\det (A-\lambda I)=0$$
   其中 $I$ 是单位矩阵，$\lambda$ 是特征值。解这个方程可以得到所有特征值及其代数重数。

2. 求特征向量和广义特征向量
   对于每个特征值 ${\lambda }_i$，需要求解对应的特征向量和广义特征向量。
   （1）求特征向量
   $$(A-{\lambda }_{i}I)v_i=0$$
   求特征方程的非零解，其中 $v_i$ 是特征值 ${\lambda }_i$ 对应的特征向量。解这个齐次线性方程组，可以得到特征向量。
   （2）求广义特征向量
   如果特征值 ${\lambda }_i$ 的代数重数大于其几何重数（即特征向量的个数不足），需要求解广义特征向量。广义特征向量是方程：
   $$(A-{\lambda }_{i}I{)}^{k}v=0$$
   的非零解，其中 $k$ 是一个正整数，且 $v$ 不是 $(A-{\lambda }_{i}I{)}^{k-1}$ 的解。广义特征向量可以通过以下递推关系求解：
   从 $(A-{\lambda }_{i}I{)}^{k-1}v=0$ 开始，逐步求解 $(A-{\lambda }_{i}I{)}^{k-2}v$、$(A-{\lambda }_{i}I{)}^{k-3}v$ 等，直到找到一个非零解。

3. 构造约当块
   对于每个特征值 ${\lambda }_i$，根据其代数重数和几何重数，构造相应的约当块。每个约当块的形式为：
   $$J_k({\lambda }_i)=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_i& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_i& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & {\lambda }_i\end{array}\right]$$
   其中 $k$ 是约当块的大小，等于该特征值的代数重数。

4. 构造可逆矩阵 $P$
   将所有特征向量和广义特征向量作为列向量，构造可逆矩阵 $P$。矩阵 $P$ 的列向量顺序应与约当块的排列顺序一致。
   例如：如果特征值 ${\lambda }_1$ 对应一个 $2\times 2$ 的约当块，其特征向量为$v_1$，广义特征向量为 $v_2$，则 $P$ 的前两列分别为 $v_1$ 和 $v_2$。

5. 构造约当标准型 $J$
   将所有约当块作为对角线上的块，构造约当标准型 $J$：
   $$J=\left[\begin{array}{cccc}{J}_{k_1}({\lambda }_1)& 0& \cdots & 0\\ 0& J_{k_2}({\lambda }_2)& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & J_{k_m}({\lambda }_m)\end{array}\right]$$
   其中 $J_{k_i}({\lambda }_i)$ 是对应特征值 ${\lambda }_i$ 的约当块。

6. 验证
   为了验证 $P$ 和 $J$ 是否正确，可以检查以下关系是否成立：
   $$A=PJ{P}^{-1}$$
   如果等式成立，则说明矩阵 $A$ 已被正确化为约当标准型，且 $P$ 和 $J$ 是正确的。

示例

假设矩阵 $A$为：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}5& 4& 2& 1\\ 0& 1& -1& -1\\ -1& -2& 3& -1\\ 1& 2& 2& 5\end{array}\right]$$

1. 求特征值
   特征多项式为：
   $$\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cccc}5-\lambda & 4& 2& 1\\ 0& 1-\lambda & -1& -1\\ -1& -2& 3-\lambda & -1\\ 1& 2& 2& 5-\lambda \end{array}\right]$$
   解特征方程 $\det (A-\lambda I)=0$，得到特征值 ${\lambda }_1=4$（代数重数2）和 ${\lambda }_2=2$（代数重数2）。

2. 求特征向量和广义特征向量
   (1) 对于 ${\lambda }_1=4$
   求解 $(A-4I)v=0$：
   $$(A-4I)=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 2& 1\\ 0& -3& -1& -1\\ -1& -2& -1& -1\\ 1& 2& 2& 1\end{array}\right]$$
   解这个齐次线性方程组，得到特征向量 $v_1$：
   $$v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$$
   求解广义特征向量 $(A-4I{)}^{2}v=0$：
   $$(A-4I{)}^2={\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 2& 1\\ 0& -3& -1& -1\\ -1& -2& -1& -1\\ 1& 2& 2& 1\end{array}\right]}^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
   由于 $(A-4I{)}^2$ 是零矩阵，任何向量都是广义特征向量。选择一个与$v_1$ 线性无关的向量 $v_2$：
   $$v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
   （2） 对于 ${\lambda }_2=2$
   求解 $(A-2I)v=0$：
   $$(A-2I)=\left[\begin{array}{cccc}3& 4& 2& 1\\ 0& -1& -1& -1\\ -1& -2& 1& -1\\ 1& 2& 2& 3\end{array}\right]$$
   解这个齐次线性方程组，得到特征向量 $v_3$：
   $$v_3=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$$
   求解广义特征向量 $(A-2I{)}^{2}v=0$：
   $$(A-2I{)}^2={\left[\begin{array}{cccc}3& 4& 2& 1\\ 0& -1& -1& -1\\ -1& -2& 1& -1\\ 1& 2& 2& 3\end{array}\right]}^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
   由于 $(A-2I{)}^2$ 是零矩阵，任何向量都是广义特征向量。选择一个与 $v_3$ 线性无关的向量 $v_4$：
   $$v_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

3. 构造矩阵 $P$
   将 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 作为列向量，构造矩阵 $P$：
   $$P=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ -1& 0& -1& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ -1& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

4. 构造约当标准型 $J$
   根据特征值和约当块的大小，构造约当标准型 $J$：
   $$J=\left[\begin{array}{cccc}4& 1& 0& 0\\ 0& 4& 0& 0\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$$

5. 验证
   检查 $A=PJ{P}^{-1}$ 是否成立。首先计算 $P^{-1}$：
   $$P^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& 1& 0& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
   然后计算 $PJ{P}^{-1}$：
   $$PJ{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ -1& 0& -1& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ -1& 0& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}4& 1& 0& 0\\ 0& 4& 0& 0\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& 1& 0& 0\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
   计算结果应与原矩阵 $A$ 相等，从而验证 $P$ 和 $J$ 的正确性。

Python代码实现

import numpy as np
from scipy.linalg import jordan

def compute_jordan_form(A):
    # 自动计算Jordan标准型
    J, P = jordan(A)
    print("Jordan矩阵:")
    print(J)
    print("\n相似变换矩阵:")
    print(P)
    return J, P

# 示例矩阵（可替换为任意n×n矩阵）
A = np.array([[3, 1, 0],
              [0, 3, 1],
              [0, 0, 3]])

compute_jordan_form(A)

求矩阵Jordan标准型行列互逆变换方法

《求矩阵Jordan标准型行列互逆变换方法》文中先用行列互逆变换求出矩阵A的特征多项式，巧妙避开了计算行列式$|A-\lambda I|$的麻烦。得到矩阵A的特征值之后，再用行列互逆变换同时确定A的Jordan标准型、过渡矩阵T和$T^{-1}$ ，而且这些初等变换都很实用，为解决相关代数问题提供了一个很棒的思路。

符号定义：

操作	含义
$r_i\leftrightarrow r_j$	表示交换第 i 行和第 j 行
$c_i\leftrightarrow c_j$	表示交换第 i 列和第 j 列
$r_i(k)(k\ne 0)+r_j$	表示把第 i 行的 k 倍加到第 j 行
$c_j(-k)+c_i$	表示把第 i 列的 -k 倍加到第 j 列
$r_i(k)(k\ne 0)$	表示第i行乘以k
$c_i(1/k)$	表示第i列除以k

定理

1. 定理1
   如果$A=TJ{T}^{-1}$，那么$\left(\begin{array}{ll}{T}^{-1}& 0\\ 0& E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& E\\ E& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}T& 0\\ 0& E\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}J& T^{-1}\\ T& 0\end{array}\right)$。这表明通过一系列对应的初等变换，就能得到矩阵A的Jordan标准型。

2. 定理2
   对于任意n阶矩阵A，用初等行变换$P_l^{-1},P_{l-1}^{-1},\cdots ,P_2^{-1},P_1^{-1}$和初等列变换$P_1,P_2,\cdots ,P_{l-1},P_l$，可以把矩阵A变成上三角矩阵B 。

3. 定理3
   上三角矩阵A主对角线上的元素肯定是特征值，通过同步的行列互逆变换，能把A变成Jordan标准型。

   • 假如特征值都不相等，比如
     $$A=\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n-1}& a_{1,n}\\ & {\lambda }_2& \cdots & a_{2,n-1}& a_{2,n}\\ & & \ddots & & ⋮\\ & & & {\lambda }_{n-1}& a_{n-1,n}\\ & & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$
     就可以用$r_2\left(\frac{a_{1,3}}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\right)+c_1$ 、$c_1\left(\frac{-a_{1,3}}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\right)+c_1$这样的变换把非对角线上的元素逐步消去。
   • 假如有相等的特征值，当${\lambda }_{1,1}={\lambda }_{1,2}=\cdots ={\lambda }_{1,i_1}$时
     • 如果$i_1=1$，或者$i_1=2$且$a_{1,2}=0$ ，那这部分本身就是Jordan块；
     • 如果$i_1=2$且$a_{1,2}\ne 0$ ，做行变换$r_2(a_{1,2})$和列变换$c_2(1/a_{1,2})$就能变成Jordan块；
     • 当$i_1\ge 3$时，参照上述两步骤进行处理。

4. 定理4
   给出了一些特殊的例子，不做讲解。

仿真复现

使用Java语言进行复现

参考文献

[1]庞金彪.求矩阵Jordan标准型行列互逆变换方法[J].安徽工业大学学报：自然科学版, 2010, 27(3):8.DOI:10.3969/j.issn.1671-7872.2010.03.024.