问题及相关理论

给定空间中n+1个数据点${\mathbf{p}}_i(i=0,1,...,n)$，如何构造一条通过这些数据点并满足二阶连续的三次样条曲线？

参数化曲线——参数三次样条曲线（1）介绍了数据点的参数化方法。
参数化曲线——参数三次样条曲线（2）介绍了埃尔米特基形式的三次多项式曲线及其域变换。
参数化曲线——参数三次样条曲线（3）推导了满足二阶连续的条件——三切矢连续性方程。
参数化曲线——参数三次样条曲线（4）介绍了样条曲线的边界条件。

实践

现应用以上理论进行实践：
给定6个数据点${\mathbf{p}}_0(1,12,0)$、${\mathbf{p}}_1(3.5,8,0)$、${\mathbf{p}}_2(4,10,0)$、${\mathbf{p}}_3(5,4,0)$、${\mathbf{p}}_4(11.5,11,0)$、${\mathbf{p}}_5(12,15,0)$

1.数据点的参数化

采用积累弦长参数化法，首先计算总弦长：
$$L=|{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_0|+|{\mathbf{p}}_2-{\mathbf{p}}_1|+|{\mathbf{p}}_3-{\mathbf{p}}_2|+|{\mathbf{p}}_4-{\mathbf{p}}_3|+|{\mathbf{p}}_5-{\mathbf{p}}_4|$$
然后计算每个点对应的参数：
$$u_0=0,u_1=u_0+\frac{|{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_0|}{L},u_2=u_1+\frac{|{\mathbf{p}}_2-{\mathbf{p}}_1|}{L}$$
$$u_3=u_2+\frac{|{\mathbf{p}}_3-{\mathbf{p}}_2|}{L},u_4=u_3+\frac{|{\mathbf{p}}_4-{\mathbf{p}}_3|}{L},u_5=u_4+\frac{|{\mathbf{p}}_5-{\mathbf{p}}_4|}{L}$$

2.确定边界条件

采用切矢条件确定首尾两端的切矢：
$${\dot{p}}_0=\frac{{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_0}{u_1-u_0}$$
$${\dot{p}}_5=\frac{{\mathbf{p}}_5-{\mathbf{p}}_4}{u_5-u_4}$$

3.三切矢连续性方程

$$\begin{gathered} {\Delta }_i{\dot{\mathbf{p}}}_{i-1}+2({\Delta }_{i-1}+{\Delta }_i){\dot{\mathbf{p}}}_i+{\Delta }_{i-1}{\dot{\mathbf{p}}}_{i+1}=3({\Delta }_i\frac{\Delta {\mathbf{p}}_{i-1}}{{\Delta }_{i-1}}+{\Delta }_{i-1}\frac{\Delta {\mathbf{p}}_i}{{\Delta }_i}) \\ i=1,2,3,4{\Delta }_i=u_{i+1}-u_i \end{gathered}$$
由4个三切矢连续性方程和2个边界条件方程，可得矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccccc}{b}_0& c_0& & & & \\ a_1& b_1& c_1& & & \\ & a_2& b_2& c_2& & \\ & & a_3& b_3& c_3& \\ & & & a_4& b_4& c_4\\ & & & & a_5& b_5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{\mathbf{p}}}_0\\ {\dot{\mathbf{p}}}_1\\ {\dot{\mathbf{p}}}_2\\ {\dot{\mathbf{p}}}_3\\ {\dot{\mathbf{p}}}_4\\ {\dot{\mathbf{p}}}_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{d}}_0\\ {\mathbf{d}}_1\\ {\mathbf{d}}_2\\ {\mathbf{d}}_3\\ {\mathbf{d}}_4\\ {\mathbf{d}}_5\end{array}\right]$$
其中，边界条件确定：$$\begin{gathered} b_0=1,c_0=0,{\mathbf{d}}_0={\dot{\mathbf{p}}}_0 \\ {a}_5=0,b_5=1,{\mathbf{d}}_5={\dot{\mathbf{p}}}_5 \end{gathered}$$
三切矢连续性方程确定：
$$\begin{gathered} a_i=u_{i+1}-u_i,i=1,2,3,4 \\ {b}_i=2(u_i-u_{i-1})+2(u_{i+1}-u_i),i=1,2,3,4 \\ {c}_i=u_i-u_{i-1},i=1,2,3,4 \\ {\mathbf{d}}_i=3((u_{i+1}-u_i)\frac{{\mathbf{p}}_i-{\mathbf{p}}_{i-1}}{u_i-u_{i-1}}+(u_i-u_{i-1})\frac{{\mathbf{p}}_{i+1}-{\mathbf{p}}_i}{u_{i+1}-u_i}),i=1,2,3,4 \end{gathered}$$

4.矩阵运算

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{\mathbf{p}}}_0\\ {\dot{\mathbf{p}}}_1\\ {\dot{\mathbf{p}}}_2\\ {\dot{\mathbf{p}}}_3\\ {\dot{\mathbf{p}}}_4\\ {\dot{\mathbf{p}}}_5\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccccc}{b}_0& c_0& & & & \\ a_1& b_1& c_1& & & \\ & a_2& b_2& c_2& & \\ & & a_3& b_3& c_3& \\ & & & a_4& b_4& c_4\\ & & & & a_5& b_5\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{d}}_0\\ {\mathbf{d}}_1\\ {\mathbf{d}}_2\\ {\mathbf{d}}_3\\ {\mathbf{d}}_4\\ {\mathbf{d}}_5\end{array}\right]$$
解矩阵，可求得每个数据点的切矢${\dot{\mathbf{p}}}_i(i=0,1,2,3,4,5)$

5.插值

给定一个参数$u\in [0,1]$，根据$u_0,u_1,u_2,u_3,u_4,u_5$确定其所处的段数，然后代入埃尔米特基方程计算该点：
$$\mathbf{p}(u)=\left[\begin{array}{cccc}{F}_{i0}(u)& G_{i0}(u)& G_{i1}(u)& F_{i1}(u)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{p}}_i\\ {\dot{\mathbf{p}}}_i\\ {\dot{\mathbf{p}}}_{i+1}\\ {\mathbf{p}}_{i+1}\end{array}\right]u\in [u_i,u_{i+1}]$$