特征值与特征向量的求解步骤

求特征值的问题转化

        非零解、特征值与特征向量的关系：齐次方程组

齐次方程组的非零解与特征值的关系 

        特征值这个概念只适用于方阵，对于m×n矩阵不会有特征值概念。

        n阶矩阵的特征值数量为n。

        齐次方程组与特征值的关系:对于齐次线性方程组Ax=0，如果存在非零解向量x，那么x向量是对应于特征值入=0的特征向量。

特征方程的求解步骤 

求特征值 

特征方程求解（含重根情况） 

        将算出的不同特征值λ1，λ2分别代入矩阵（λE-A） 

        注意取巧方法：基础解系为1，说明基础解系的成员为1，恰好是最简行矩阵的自由元个数

        注意特征向量的取值：因为特征向量为非零解，所以k不能取0

如果是重根的情况：

        特征向量不为0，k1和k2不全为0即可

 两条注意事项

 

求复杂的多项式特征值 

        特征为多项式时，可以尝试试根法

四种试根法求出一个特征值 

多项式除法求另一个因式

求抽象的特征值和特征向量 

1、常见的定义法求特征值和特征向量 

注意一下，A转置时的特征值和特征向量

跳转观察特征值和特征向量

多项式的特征值：

2、用表格法处理特征多项式

3、用特征值与特征方程的性质 

        某些关于特征值的性质（如特征值的和、特征值的积、特征值的模长等）在相似矩阵之间是保持不变的，因为这些性质都依赖于特征值本身，而相似矩阵有相同的特征值。

详情跳转 （特征值的性质大全）

证明两个不同特征值线性无关 

相似矩阵 

相似矩阵的定义 

        证明两个矩阵相似，有两种方法：

相似矩阵的性质 

证明所有数值型都相等

        由以上性质反推A、B相似不成立。

相似对角化 

相似对角化的定义及充要条件

     相似对角化的定义及充要条件：

        矩阵A必须有n个线性无关的特征向量。这是相似对角化的核心条件。如果A有n个线性无关的特征向量，那么可以构造一个可逆矩阵P，其列向量就是A的这些线性无关的特征向量。

由相似对角化定义衍生出的题目 

相似对角化的解题步骤 

解题顺序 

1、用特征多项式的行列式，求出特征值和特征向量（求特征值时用试根法）

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2、验证是否对角化

对角化的注意事项

1、如何判断有n个无关的特征向量

相似对角化的充分条件和充要条件

k重特征值不一定线性相关

k重特征值是否线性相关的判定公式 

        注意这里有误解：ni不是当前特征根数，而是当前特征根的基础解系数量（即解向量，也是线性无关的特征方程数量），k重特征根最多k个线性无关的特征向量

 k重特征值还可以用于判断矩阵A是否能够相似对角化

实对称矩阵正交化  

        证明:实对称矩阵A对应于不同特征值的特征向量是正交的。

普通矩阵对角相似化与实对称矩阵相似对角化  

        普通手段的转换会扭曲图形，而正交手段的转换不会扭曲，只会改变大小

反求参数的四种方法 

用对角化反求矩阵 

传递性证明两个矩阵相似 

        A、B都可对角化，且A与B特征值相同，A,B矩阵相似；反之，A,B相似推不出A,B可对角化。

        A、B都可对角化，且A与B特征值相同，A,B矩阵相似

正定二次型

         只存在未知数且次数和为2的函数多项式，可以将该多项式化作矩阵。

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线性变换 

       线性变换的本质： 

可逆线性变换与合同 

        二次型中,A与B的合同是指同一个二次型在可逆线性变换下的两个不同状态的联系。

标准型和规范型 

        标准型和规范性的定义

正交变换化标准型的步骤 

配方法化作标准式 

配方法化作规范型 

没有平方项，只有混合项的配方法 

关于标准型的矩阵是否取逆 

        主要是看中间变量是如何变换的，再利用x=cz推导矩阵是否求逆

惯性定理 

惯性定理的含义 

        无论选取什么样的可逆线性变换,将二次型化成标准形或规范形,其正项个数p,负项个数q都是不变的,称为正惯性指数,q称为负惯性指数.

        两个二次型(或实对称矩阵)合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数、或有相同的秩及正(或负)惯性指数.

正定二项式 

        一般用前三个对正定判定。

用顺序主子式判定正定 （具体型）

求特征值判定正定 （具体性）

        因为矩阵A是对称性，二次型标准式由A的特征值得来，所以特征值与正负惯性挂钩

抽象型二项式判断正定