时域离散信号卷积的四种求法

本文介绍了离散信号的卷积和并详细讲解了信号与系统中离散信号的四种卷积运算方法，包括公式法、图像法、不进位相乘法和利用性质，并附带例题和解答。

溯858

521人浏览 · 2025-04-23 21:05:06

溯858 · 2025-04-23 21:05:06 发布

离散信号的卷积和

对两个离散序列x(n)和h(n)进行加权求和，其可视为一个信号在另一个信号上的滑动加权平均，是一种特殊运算，具体用公式可表示为

$y(n)=x(n)\ast h(n)=\sum_{m=-\infty }^{\infty }x(m)\cdot h(n-m)$

计算步骤

翻褶、移位、相乘、相加

计算方法

1.公式法：利用u(n)确定求和范围

例题：已知 $x(n)=u(n)-u(n-N)$ ， $h(n)=a^{n}u(n)$ ，0<a<1，求 $y(n)=x(n)\ast h(n)$

解：

$y(n)=x(n)\ast h(n)=\sum_{m=-\infty }^{\infty }x(m)\cdot h(n-m)$

$=\sum_{m=-\infty }^{\infty }a^{m}u(m)[u(n-m)-u(n-m-N)]$

$=\sum_{m=-\infty }^{\infty }a^{m}u(m)u(n-m)-\sum_{m=-\infty }^{\infty }a^{m}u(m)u(n-m-N)$

对前一项：

为使其有定义，则 $0\leq m\leq n,n\geq 0$

同理，对后一项，有：

$0\leq m\leq n-N,n-N\geq 0$

故

$y(n)=\sum_{m=0}^{n}a^{m}u(n)-\sum_{m=0}^{n-N}a^{m}u(n-N)$

$=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}u(n)-\frac{1-a^{n-N+1}}{1-a}u(n-N)$

2.图形法

例题：已知 $x(n)=u(n)-u(n-N)$ ， $h(n)=a^{n}u(n)$ ，0<a<1，求 $y(n)=x(n)\ast h(n)$

解：x(n),h(n)原信号图：

h(n)翻褶后：

① n<0

$y(n)=0$

② n≥N-1

$y(n)=\sum_{m=0}^{N-1}a^{n-m}=a^{n}\frac{1-a^{-N}}{1-a^{-1}}$

③ 0≤n≤N-1

$y(n)=\sum_{m=0}^{n}a^{n-m}=a^{n}\frac{1-a^{-(n+1)}}{1-a^{-1}}$

3.对位相乘求和：右对齐+不进位相乘

例题：有限长序列 $x(n)=\left \{ 1,2,3,n=-1,0,1 \right \},h(n)=\left \{ 2,4,n=3,4 \right \}$ 求 $y(n)=x(n)\ast h(n)$

解：

1 2 3

2 4

4 8 12

2 4 6

2 8 14 12

将结果从左往右排列即得卷积后y(n)的表达式

$y(n)=\left \{ 2,8,14,12,n=2,3,4,5 \right \}$

其中，

$-1+3=2\leq n\leq 1+4=5$

4.利用性质

$\left\{\begin{matrix} x(n)\ast \delta (n)=x(n)\\ x(n)\ast \delta (n-n_{0})=x(n-n_{0}) \end{matrix}\right.$

例题： $x(n)=a^{n}u(n),h(n)=u(n)-u(n-2)$ ，求 $y(n)=x(n)\ast h(n)$

解：

$h(n)=u(n)-u(n-2)=\delta (n)+\delta (n-1)$

$y(n)=x(n)\ast h(n)=x(n)\ast \left \{ \delta (n)+\delta (n-1) \right \}$

$=x(n)+x(n-1)$

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