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目录

 ⛳️赠与读者

💥1 概述

基于蒙特卡洛方法的组合拓扑优化拓扑灵敏度信息研究

一、蒙特卡洛方法在天线优化中的应用机制

二、组合拓扑优化的核心原理

三、拓扑灵敏度信息的定义与获取方法

四、蒙特卡洛方法与组合拓扑优化的结合框架

五、应用案例与可行性分析

六、挑战与未来方向

七、结论

📚2 运行结果

🎉3 参考文献 

🌈4 Matlab代码实现

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 ⛳️赠与读者

👨‍💻做科研，涉及到一个深在的思想系统，需要科研者逻辑缜密，踏实认真，但是不能只是努力，很多时候借力比努力更重要，然后还要有仰望星空的创新点和启发点。建议读者按目录次序逐一浏览，免得骤然跌入幽暗的迷宫找不到来时的路，它不足为你揭示全部问题的答案，但若能解答你胸中升起的一朵朵疑云，也未尝不会酿成晚霞斑斓的别一番景致，万一它给你带来了一场精神世界的苦雨，那就借机洗刷一下原来存放在那儿的“躺平”上的尘埃吧。

     或许，雨过云收，神驰的天地更清朗.......🔎🔎🔎

💥1 概述

基于蒙特卡洛方法的组合拓扑优化拓扑灵敏度信息研究

一、蒙特卡洛方法在天线优化中的应用机制

蒙特卡洛方法通过随机采样和概率统计，为天线设计中的参数敏感性分析和不确定性量化提供了高效工具。其核心在于：

1. 参数空间建模：将天线设计参数（如微带贴片的尺寸、接地平面宽度等）视为随机变量，通过概率分布（如正态分布、均匀分布）描述其不确定性。
2. 大规模仿真与统计：通过生成大量随机样本，对每个样本进行电磁仿真（如增益、回波损耗计算），统计性能指标的变化规律，从而量化参数对设计目标的影响。
3. 多目标权衡分析：在大规模MIMO系统等场景中，蒙特卡洛模拟可评估高用户速率、能源效率等冲突目标的权衡关系，生成帕累托前沿。

二、组合拓扑优化的核心原理

组合拓扑优化结合了参数优化与拓扑优化的优势，其关键技术包括：

1. 多变量协同优化：例如，采用粒子群优化（PSO）调整孔位参数，同时通过拓扑优化确定材料分布，以提升结构刚度并减少体积。
2. 鲁棒性设计：引入不确定性模型（如材料参数波动、制造公差），通过蒙特卡洛模拟评估设计鲁棒性，优化结果需满足统计性能要求。
3. 高效算法融合：如进退法与二分法结合，快速缩小搜索区间，再利用蒙特卡洛方法计算容差范围内的可靠性指标（如副瓣电平达标概率）。

三、拓扑灵敏度信息的定义与获取方法

拓扑灵敏度反映设计变量微小变化对目标函数的影响程度，其计算方式包括：

1. 梯度类方法：通过有限元分析的导数计算灵敏度，如式（7）中的敏感性函数被用作优化算法的适应度函数。例如，在直升机旋翼桨叶设计中，通过柔度矩阵对设计变量求导获得敏度信息。
2. 非梯度统计方法：在复杂非线性场景中，利用蒙特卡洛模拟生成大量样本，统计性能变化趋势，间接推导灵敏度。例如，阵列天线的幅相容差优化中，通过随机抽样评估最高副瓣电平的可靠度。
3. 混合策略：结合参数水平集法（PLSM）与等效静载荷法（ESLM），将动态响应转化为等效静态方程，简化灵敏度计算。

四、蒙特卡洛方法与组合拓扑优化的结合框架

1. 不确定性驱动的鲁棒优化：
   • 并行蒙特卡洛模拟：在每次拓扑优化迭代中，并行执行多组随机参数仿真，评估设计在不确定性下的平均性能与方差。
   • 材料场级数展开（MFSE） ：通过降维模型减少设计变量数量，结合蒙特卡洛采样克服“维度灾难”，适用于电磁场耦合等复杂问题。
2. 灵敏度增强的优化流程：
   • 采样-筛选-迭代：首先生成大规模参数样本，筛选出关键敏感参数组合，再针对性地进行拓扑优化迭代，减少计算量。
   • 动态灵敏度修正：在蒙特卡洛模拟中，根据性能统计结果动态调整灵敏度权重。例如，使用Sigmund方法修正灵敏度信息，抑制数值不稳定性。
3. 多目标与多尺度优化：
   • 帕累托前沿生成：通过蒙特卡洛模拟探索不同参数组合下的多目标冲突关系，指导拓扑优化方向。
   • 分层优化策略：在毫米波天线配置中，采用蒙特卡洛树搜索（MCTS）分层优化方位角与下倾角，平衡覆盖率和系统吞吐量。

五、应用案例与可行性分析

1. 微带贴片天线设计：
   • 案例描述：以3 GHz微带天线为例，设定贴片宽度与接地平面长度的初始范围，通过蒙特卡洛仿真（10-10,000次迭代）分析增益对参数的敏感性。
   • 结果：生成总成本与参数的散点图及网格图，识别最优参数组合，灵敏度分析显示接地平面长度对增益影响显著。
2. 阵列天线幅相容差优化：
   • 方法：采用进退法确定相位容差搜索区间，二分法迭代优化，结合蒙特卡洛模拟计算副瓣电平达标概率。
   • 优势：与传统迭代法相比，计算复杂度为O(MN)，M为样本数，N为单元数，效率提升显著。
3. 鲁棒拓扑优化框架：
   • 实现：在材料不确定性模型中，并行执行蒙特卡洛模拟，结合能量基同质化方法预测等效弹性性质，导出3D打印适用的微观结构。
   • 效果：优化后的结构在制造误差下仍保持高性能，验证了方法的工程适用性。

六、挑战与未来方向

1. 计算效率瓶颈：大规模蒙特卡洛仿真需高性能计算支持，可探索GPU加速或代理模型（如贝叶斯优化）替代全波仿真。
2. 灵敏度-鲁棒性平衡：需发展自适应采样策略，在灵敏度精度与计算成本间取得平衡。
3. 多物理场耦合：扩展至电磁-热-力多场耦合场景，需开发跨领域灵敏度统一表征方法。

七、结论

蒙特卡洛方法与组合拓扑优化的结合，为天线设计提供了从参数敏感性分析到鲁棒拓扑生成的全流程解决方案。通过随机采样与统计推断，该方法能够有效处理不确定性、多目标冲突及高维设计空间问题，未来在5G/6G天线、智能反射面等领域具有广阔应用前景。

📚2 运行结果

部分代码：

function [FF, GenusInit, GenusFinal, GenusHistory, tt, candidates] = ...
    localSteps(OP, optData)
%% localSteps: perform all local steps towards local minimum starting from 
%              a random seed (if called multiple time, it results in a Monte 
%              Carlo analysis). Each local step is performed in greedy sense.
% 
% Inputs:
%   OP           ~ MATLAB structure containing all variables and fields
%                  fully describing the optimization region and all
%                  necessary MoM matrices. Majority of the fields are
%                  evaluated by AToM, see [1]. Mandatory fields are:
%                  OP.Mesh (discretization), OP.BF (basis functions),
%                  OP.ports (position of discrete ports, if any), OP.V
%                  (excitation vector), OP.Z (impedance matrix), 
%                  OP.Zsystem (system matrix - might be equal to OP.Z),
%                  etc. See START.m for details.
%   optData      ~ MATLAB structure containing optimization settings. 
%                  See START.m for details.
% 
% Outputs:
%   FF           ~ row vector of fitness function value in each iteration
%   GenusInit    ~ a gene representing the initial structure
%   GenusFinal   ~ a gene representing the resulting structure
%   GenusHistory ~ a row vector containing history of all structural
%                  changes. positive value: an edge of that global position
%                  was added, negative value: an edge of that global
%                  position was removed
%   tt           ~ a row vector of computational time (commulative)
%   candidates   ~ a vector 1x2 containing numbers of antenna samples 
%                  evaluated, (1,1): investigated for removal, (1,2):
%                  investigated for addition
% 
% (The code is started from START.m.)
% 
% See also: START
% 
% 2022, Miloslav Capek, CTU in Prague, miloslav.capek@fel.cvut.cz

% Optimization settings:
fitnessFunction = optData.fitness;
protectedEdges  = optData.protectedEdges; % these edges are not optimized

removingActive  = optData.removingActive;
addingActive    = optData.addingActive;
% 0 ~ ALL, 1 ~ all REM, BND ADD, 2 ~ BND
edgesToCheck    = optData.edgesToCheck;

% Generate random seed (randomly generate edges removed from beginning):
nPixels = randi(OP.BF.nUnknowns, 1);
globIndsRem = setdiff(sort(randperm(OP.BF.nUnknowns, nPixels)), protectedEdges);
globIndsBF  = setdiff(1:OP.BF.nUnknowns, globIndsRem);

% It can be done differently, e.g.:
% globIndsBF = round(rand(1, OP.BF.nUnknowns));
% globIndsBF(protectedEdges) = true;
% globIndsBF = find(globIndsBF);

%% Run greedy step from given point for topology significant edges only
t0 = tic;
% Initial structure (admittance matrix)
Y = inv(OP.Zsystem(globIndsBF,globIndsBF));

GenusInit = false(OP.BF.nUnknowns, 1);
GenusInit(globIndsBF) = true;

% Initial step to begin with:
I  = Y * OP.V(globIndsBF);
FF = feval(fitnessFunction, OP, I, globIndsBF, [], 0);

%% ========================================================================
iter     = 1;
tt(iter) = toc(t0);
minDffTopomin = -inf;
candidates = [0 0];
minDffTopoRem = inf; ffTopoRem = [];
minDffTopoAdd = inf; ffTopoAdd = [];
GenusHistory = zeros(1, OP.BF.nUnknowns);
while minDffTopomin < 0
    if edgesToCheck == 0 % Use all edges
        globIndsBFRemTest = setdiff(globIndsBF, protectedEdges);
        globIndsBFAddTest = setdiff(1:OP.BF.nUnknowns, globIndsBF);
    elseif edgesToCheck == 1 % Use only boundary for just ADDING
        [~, globIndsBFAddTest] = objectBoundary(OP.BF, globIndsBF);
        globIndsBFRemTest = setdiff(globIndsBF, protectedEdges);
        globIndsBFAddTest = setdiff(globIndsBFAddTest, protectedEdges);
    elseif edgesToCheck == 2 % Use boundary both for ADDING and REMOVING
        [globIndsBFRemTest, globIndsBFAddTest] = objectBoundary(OP.BF, globIndsBF);
        globIndsBFRemTest = setdiff(globIndsBFRemTest, protectedEdges);
        globIndsBFAddTest = setdiff(globIndsBFAddTest, protectedEdges);
    end
    
    if removingActive
        % Evaluate all removals
        IB_rem = topoRemove(Y, I, globIndsBF, globIndsBFRemTest);
        % Evaluate topology sensitivity (for removal)
        ffTopoRem = feval(fitnessFunction, ...
            OP, IB_rem, globIndsBF, globIndsBFRemTest, -1);
        % Find the most valuable edge to be removed
        [minDffTopoRem, locIndBFrem] = min(ffTopoRem - FF(iter));
    end
    
    if addingActive
        % Evaluate all additionals (USE globIndsBF_YB as output if needee)!
        IB_add = topoAdd(OP.Zsystem, OP.V, Y, I, globIndsBF, globIndsBFAddTest);
        % Evaluate topology sensitivity (for removal)
        ffTopoAdd = feval(fitnessFunction, ...
            OP, IB_add, globIndsBF, globIndsBFAddTest, +1);
        % Find the most valuable edge to be added
        [minDffTopoAdd, locIndBFadd] = min([ffTopoAdd - FF(iter); inf]);
    end
    candidates = candidates + [length(ffTopoRem) length(ffTopoAdd)];
    
    % Evaluate gradients of topology senstivities...
    minDffTopomin = min(minDffTopoRem, minDffTopoAdd);
    if minDffTopomin < 0
        iter = iter + 1;
        FF(iter) = FF(iter-1) + minDffTopomin;
        if minDffTopoRem < minDffTopoAdd % REMOVE EDGE
            % Update current and remove zero item
            locIndIrem = glob2loc(globIndsBF, globIndsBFRemTest(locIndBFrem));
            I = IB_rem([1:(locIndIrem-1), (locIndIrem+1):end], locIndBFrem);
            % Update indices and admittance matrix            
            globIndBFrem = globIndsBFRemTest(locIndBFrem);
            [Y, globIndsBF] = removeEdges(Y, globIndsBF, globIndBFrem);
            % Record to history
            GenusHistory(iter-1) = -globIndBFrem;
        else % ADD EDGE
            % Update current and sort it properly
            [~, inds] =  sort([globIndsBF, globIndsBFAddTest(locIndBFadd)]);
            I = IB_add(inds, locIndBFadd);
            % Update indices and admittance matrix
            globIndBFadd = globIndsBFAddTest(locIndBFadd);
            [Y, globIndsBF] = addEdges(Y, OP.Zsystem, globIndsBF, globIndBFadd);
            % Record to history            
            GenusHistory(iter-1) = +globIndBFadd;
        end
    end
    fprintf(1, 'Iter: %04d, abs improv = %1.5e, relativ. improv = %1.5e, type: %d\n', ...
        iter-1, minDffTopomin, minDffTopomin/FF(iter-1), GenusHistory(iter-1));
    tt(iter) = toc(t0);
end

GenusFinal = false(OP.BF.nUnknowns, 1);
GenusFinal(globIndsBF) = true;

🎉3 参考文献 

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。(文章内容仅供参考，具体效果以运行结果为准)

[1]丁繁繁.拓扑可变荷载作用下连续体拓扑优化组合准则法[D].河海大学,2007.

[2]傅建林,荣见华,杨振兴.带有预应力的连续体组合结构拓扑优化[J].应用力学学报, 2005, 22(2):7.

🌈4 Matlab代码实现

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