分组最小角回归（Group Lasso）是一种用于回归分析和特征选择的统计方法，它由Yuan和Lin在2006年提出。

Group Lasso扩展了传统的Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）方法，后者是一种通过最小化残差平方和与绝对值惩罚项之和来进行回归参数估计和特征选择的技术。

Group Lasso的主要创新在于它可以同时对一组相关的特征进行选择，而不是像传统Lasso那样独立地选择每个特征。

Group Lasso 的目标函数

Group Lasso 的目标是找到一组参数 $\beta$ ，以最小化下面的损失函数：

$$\underset{\beta }{\min }\left(\frac{1}{2}\Vert y-X\beta {\Vert }_2^2+\lambda \sum _{g=1}^G\Vert {\beta }_g{\Vert }_2\right)$$

公式解析：

• $y$ : 这是因变量的向量，通常为 $n\times 1$ 的列向量，其中 $n$ 是观测的数量。
• $X$ : 这是设计矩阵，即自变量矩阵，大小为 $n\times p$ ，其中 $p$ 是特征的数量。
• $\beta$ : 这是回归系数向量，大小为 $p\times 1$ 。
• $\Vert y-X\beta {\Vert }_2^2$ : 这是残差平方和，即预测值与真实值之间的差异的平方和。
• $\lambda$ : 这是正则化参数，用于控制正则化项的强度。
• $G$ : 这是特征组的总数。
• ${\beta }_g$ : 这是第 $g$ 组特征对应的系数向量。
• $\Vert {\beta }_g{\Vert }_2$ : 这是第 $g$ 组特征系数的二范数，即该组系数的欧几里得长度。

Group Lasso 的特点

1. 组选择：Group Lasso 可以选择整个特征组，要么保留整个组的特征，要么完全剔除，这在处理自然成组的特征时非常有用，例如基因表达数据中的基因簇。

2. 正则化：通过添加二范数的惩罚项，Group Lasso 促使一些组的系数向量 ${\beta }_g$ 的二范数降为零，从而实现特征选择。

3. 稀疏性：与Lasso类似，Group Lasso 产生的模型是稀疏的，但稀疏性体现在组级别上，而不是单个特征级别上。

Group Lasso 的求解

Group Lasso 的优化问题是非平凡的，因为正则化项是非光滑的。

求解 Group Lasso 问题的方法包括坐标下降法、交替方向乘子法（ADMM）、梯度投影法等。

其中，坐标下降法和ADMM是比较常用的方法，它们通过迭代的方式逐步优化参数 $\beta$ ，直至收敛到一个最小化目标函数的解。

实例应用

在基因表达数据分析中，假设我们有一组基因簇，每个簇内的基因被认为在生物学意义上是相关的。

Group Lasso 可以帮助我们识别哪些基因簇与疾病状态有关，而不是孤立地选择基因。

这样，我们就可以得到一个更加生物学上有意义的特征子集，同时也减少了模型的复杂性。

Group Lasso 在许多领域，如生物信息学、金融和图像处理中，都找到了广泛的应用。