1. 块码的性能与块长度的关系

• 性能提升：块码的性能会随着块长度的增加而改善，即使编码率保持不变（大约为 $1/2$）。
  • 这是因为更长的块长度意味着更多的比特可以用于纠错。这与香农编码定理中提到的内容一致，即更长的编码块可以更接近香农限（Shannon Limit），从而获得更好的性能。
• 编码增益：编码的强度有时可以通过编码增益来量化。编码增益是指在某个误码率（BER，Bit Error Rate）下，使用编码后系统所需的 $E_b/N_0$ 减少的量。
  • 例如，使用 (31,16) 的块码在误码率 $P_b=10^{-5}$ 下，相对于未编码的情况，其 $E_b/N_0$ 减少了大约 1.8 dB。这说明了这个块码在该误码率下的编码增益为 1.8 dB。

细节解释：

• (31,16) 块码：这个表示块码的块长度为 31，比特长度为 16。也就是说，这个码在每31个比特中，有16个是信息比特，其余是冗余比特用于纠错。
• 1.8 dB 编码增益：dB 是一个对数单位，用于描述信噪比的变化。1.8 dB 的减少表示在相同的误码率下，使用块码所需的比特能量与噪声功率谱密度比（$E_b/N_0$）减少了 1.8 dB。这说明了块码在纠错方面的优势。

2. 卷积码的性能与约束长度的关系

• 约束长度（v）：卷积码的性能会随着约束长度 $v$ 的增加而改善。约束长度指的是编码器在计算当前输出时，参考的输入比特和之前的比特数量。 更长的约束长度通常会增加编码器的纠错能力。
  • 例如，可以观察到随着约束长度的增加，卷积码的性能不断提升。
• 复杂性增加：然而，随着块长度或约束长度的增加，编码和解码的复杂性也会增加。因此，虽然性能更好，但计算资源和硬件要求也会随之提升。
• Viterbi 解码：卷积码通常使用 Viterbi 解码算法，它是一种高效的解码算法，能够找到最有可能的比特序列。对于非常低的误码率，使用 Viterbi 解码的卷积码一般比块码更强大。

细节解释：

• 单片约束长度9的卷积码：这意味着卷积编码器和解码器可以达到256个状态。这种复杂的设计可以显著提高系统的纠错能力，但也需要更复杂的硬件和计算资源。
• 256状态：这个状态数量是 $2^{v-1}$，其中 $v=9$，因此有 $2^8=256$ 个状态。这么多状态表示编码器的复杂性较高，但也带来了更好的纠错能力。

3. Turbo 码的性能与迭代次数的关系

• Turbo 码：Turbo 码是一种基于迭代解码的强大纠错码。它的性能与解码过程中迭代次数的多少密切相关。
• 接近香农限的性能：一个编码率为 $1/2$ 的 Turbo 码在不同迭代次数下的性能。可以观察到，当迭代次数足够多时，Turbo 码的性能可以非常接近香农限。
  • 这意味着 Turbo 码能够在较低的 $E_b/N_0$ 下实现非常低的误码率，是一种非常高效的纠错码。

细节解释：

• 迭代次数：在 Turbo 解码过程中，迭代次数越多，解码器可以逐渐改进比特状态的估计，从而提升纠错能力。然而，更多的迭代次数也会带来更高的计算复杂度和更长的延迟。
• 接近香农限：香农限定义了在给定带宽和信噪比下，理论上可以实现的最低误码率。Turbo 码通过不断迭代，可以将误码率降到非常接近这个理论极限，使其成为一种非常高效的纠错方案。

总结

1. 块码：块长度越长，性能越好，编码增益可以量化为 $E_b/N_0$ 的减少。例如，(31,16) 块码在 $P_b=10^{-5}$ 下的编码增益为 1.8 dB。
2. 卷积码：随着约束长度的增加，性能提升，但复杂性也增加。使用 Viterbi 解码的卷积码在低误码率下比块码更强大。
3. Turbo 码：通过增加迭代次数，可以在较低的 $E_b/N_0$ 下实现接近香农限的性能，但迭代次数越多，复杂度和延迟也越高。